在中学初等函数概念的课堂教学过程中, 教师要善于引导学生去观察、实验、猜想、论证, 帮助学生真正理解概念、原理等, 并与日常生活紧密地联系起来, 使学生学到的知识能够运用, 从而提高学生的应用能力。我们编写的教材和教学中都要用准确的数学语言帮助学生建立概念[1], 运用概念的过程中逐步理解这些概念, 让学生可以从多角度、深入地理解初等函数概念, 建立数学知识的联系, 从而使他们在面对实际问题时, 能更容易地激活数学知识, 灵活地运用初等函数知识解决问题。
1 从函数的“变量说”过渡到“对应说”
函数概念的教学要从实际背景和定义两方面帮助学生理解函数的本质。初中阶段从学生容易掌握的描述性函数定义入手, 即采用函数的变量说, 便于和实际相联系。
构建函数的一般概念之后, 然后通过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等具体函数的研究, 结合图像分析, 继续加深学生对函数概念的理解。在这里, 要注意函数体现变量之间的各种各样的关系, 不要错误的以为函数就是y=kx+b一种类型。
进入高中阶段, 要求用两个数集之间对应的方式来阐述函数的意义。此时学生需要抽象的思考, 跳出函数的具体表达式的限制, 把“对应法则”作为函数概念的核心。这就是要求从变量说过渡到对应说。
对应说的函数概念, 可以形象化地的解释为一架加工机。它把自变量加工成因变量。例如, 正方形的面积y是边长x的函数, 记为y=x2, 对于每一个自变量x的值, 就有一个面积y=x2与之对应。这好像在加工机f中, 每输入一个x, 就输出一个x (y的值是x2) , 于是, 这个函数f就相当于“平方机”的作用。
在引入函数概念之前, 需要完成从常量到变量的转变。字母除了表示定数外, 还可以表示变化的量。在学习函数之前, 初中学生可能写出S=100t, 但是他们仍然不能从这一式子中看到变化过程。对于表达式x+y=5, 在学生已有的认知图式中就是两个定数相加为5, 并不能想到两个量之间有“此消彼长”的内在联系, 事实上, 此前学生的经验只涉及常量的运算, 字母或符号在他们的认知结构中只是代表一个特定的具体数量, 这就是说, 把一个算式和运动联系起来并不容易。
在实际教学中, 我们可以把定数表示为数轴上的一个定点, 而把变量看成式一个动点。特别地, t从0变到10就是动点沿数轴从0运动到10;再取自变量t的一系列特定值, 列出相应的另一个变量S (t) 的对应值, 并在坐标系上描出这些点, 这样学生就容易感受到变量的真实意义。
2 理清初等函数概念教学中几个典型的问题
问题1函数y=f (x+1) 中的自变量x是还是x+1?
答:函数y=f (x+1) 中的自变量x是, 如, 则, 显然函数f (x+1) 中的自变量x是, 而不是 (x+1) , 一般的, 复合函数y=f (g (x) ) 的自变量都是x, 而不是g (x) 。
问题2已知f (x) 的定义域为[0, 1], 为什么f (x2) 的定义域由不等式确定?
答:为方便于理解, 我们构造一个具体的函数, , , f (x2) 的定义域为。一般的, 设函数f (x) 的定义域为D, 则函数y=f (g (x) ) 的定义域为。
问题3已知f (x+1) =x2+x, 求f (x) 时, 作变量代换t=x+1, 得f (t) =t2-t, 故f (x) =t2-t.这里为什么能将t换成x?
答:我们知道, 当且仅当两个函数的三要素相同时, 两个函数是同一函数。函数f (t) =t2-t与f (x) =x2-x的三要素都相同, 它们是同一个函数, 所以能将f (t) =t2-t中的t换成x, 本题实际上是求函数的对应法则, 它与表示自变量的字母无关。
问题4若函数y=f (x) 存在反函数, 函数y=f-1 (x+1) 的反函数是吗?答:函数y=f (x+1) 的反函数一般不是y=f-1 (x+1) , 按求反函数的步骤可得, y=f (x+1) 的反函数为y=f-1 (x+1) -1。
3 结语
(1) 初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成、并且可以用一个式子表示的函数[2], 教师在进行初等函数教学时, 最重要的是引导学生对初等函数基本的概念进行抽象或概括。
(2) 教师应适当选择和设计具有挑战性和开放性的问题, 以提高学生的探索层次, 扩展学生的思维空间。
摘要：中学初等函数教学是中学数学中的一个重点和难点, 本文运用了文献资料法和笔者的多年经验对中学初等函数概念的教学做出了实质性的建议, 希望能促进函数教学的发展和学生学习的进步。
关键词：中学,初等函数概念,教学建议
参考文献
[1] 匡继昌.什么是初等函数[J].数学通报, 2007 (7) .
[2] 魏莹.初等函数教学中的几个问题[J].武汉职业技术学院学报, 2002 (4) .