复变函数又经常被称复分析, 是数学分析的后续学科, 也可以说复变函数是推广的数学分析。复变函数与数学分析同属函数问题的领域, 只是复变函数将研究的数域从实数范围扩大到复数范围, 在这里数学分析中的一些性质、定理, 在复变函数中也同样成立, 但又不是所有的都成立。本文将从函数、极限、积分和级数四个方面, 应用类比的方法, 通过对一些实例分析, 阐述数学分析语复变函数的联系与区别。
一、复变函数与数学分析中函数定义的比较
复变函数的定义, 形式上和数学分析中单元函数的定义一样, 只是自变量取值是复数[2].所以单复变的复函数u=f (z) 等价于两个相应二元实函数u=ϕ (x, y) , v=ψ (x, y) [1]。
区别:在数学分析中可以把图像借助同一个平面或同一个三维空间中的几何图形表示出来。而复变函数不能, 它是取两个复平面:Ζ平面和ω平面, 把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应 (映射或变换) 。
二、复变函数与数学分析中极限的比较
对于极限问题, 复变函数极限讨论要比数学分析函数讨论复杂的多, 因为数学分析中的极限只是一个函数的极限, 但是复变函数的极限问题是多个函数之间变换的问题, 所以相比之下复变函数的极限与可导可微的变化更多一些。
三、复变函数与数学分析的积分比较
在比较积分前, 先比较一下函数可积得条件的异同:数学分析中满足以下条件中的任意一个函数f在[a, b]上可积①满足可积准则 (比较复杂, 一般不常使用, 后面几种更常用) 。②函数f在[a, b]上是连续函数。③函数f在[a, b]上只有有限个间断点的有界函数。④函数f在[a, b]上是单调函数。复变函数f沿曲线C可积的必要条件是函数f沿C有界。
四、复变函数与数学分析的级数的比较
复变函数和数学分析研究的都是解析函数, 我们这里取解析函数中的级数代表幂级数为例, 幂级数作为最简单的解析函数项级数, 收敛区间又是圆, 理论和应用上都很重要。
五、结语
本文类比了复变函数与数学分析内容若干的联系与区别, 并且对差异之处特别强调, 有利于学生学习复变函数, 以避免照搬数学分析的知识点, 出现理解错误、应用不当的情况。学生自己发现并总结出知识间异同点, 从而更清晰地理解, 并准确的对其加以应用, 不仅要够帮助提高学生们原有的知识技能与经验, 而且还能促进学生正迁移的发生, 提高同学对数学的自主学习能力与学习兴趣。
摘要：复变函数是研究数域为复数域的函数, 本文通过对复变函数与数学分析之间若干问题的比较, 而阐述复变函数与数学分析的相近之处及不同之处, 进而实现知识的理解加深, 找到两学科之间的联系和区别, 从而更深刻的理解两类数学问题。
关键词：复变函数,数学分析,极限,积分
参考文献
[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2013.
[2] 华中师范大学数学系.数学分析.[M].北京:高等教育出版社, 2010.
[3] 陈静等.复变函数的积分的几种计算方法.[J].河南机电高等专科学校学报, 2013.
[4] 秦玉芳等.复变函数课程的对比教学法研究.[J].价值工程, 2011.