数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中, 经过思维活动而产生的结果, 它是对数学事实与数学理论的本质认识。新的《数学课程标准》强调:“在教学中, 应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律 (包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法) 。”因此, 开展数学思想方法教学应作为新课改中所必须把握的教学要求。新课标明确提出这个要求, 旨在引导学生去把握数学知识结构的核心和灵魂, 其重要意义显而易见。
1 数形结合思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学, 因而数学研究总是围绕着数与形进行的。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系, 以“形”直观地表达数, 以“数”精确地研究形。华罗庚曾说:“数缺形时少直觉, 形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想, 由形思数, 由数想形, 利用图形的直观诱发直觉。
例1:已知关于x的不等式组的整数解共有六个, 则a的取值范围是。
分析:首先接不等式组, 用含有a的式子表示出不等式组的解集, 再根据不等式组的整数解的个数确定a的范围。为了直观得到a的范围, 可借助数轴来表示不等式组的解集。
解:解不等式组, 得a≤x<4.将x<4在数轴上表示出来, 如图1所示:
已知不等式组的整数解共有6个, 则分别为3, 2, 1, 0, -1, -2。
所以a≤-2。
但若a小于或等于-3, 则原不等式组有六个整数解,
所以a>-3。
所以a的取值范围为-3
2 转化思想
在教学研究中, 使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中, 转化意味着把生疏问题转化为熟悉问题;把抽象问题转化为具体问题;把复杂问题转化为简单问题;把一般问题转化为特殊问题;把高次问题转化为低次问题;把未知条件转化为已知条件;把一个综合问题转化为几个基本问题;把顺向思维转化为逆向思维等等。
分析:本题需要将分式方程中分母2-x转化为- (x-2) , 再将方程两边都乘以 (x-2) 化为一次方程求解, 在验根时, 可代入最简公分母进行验证, 使最简公分母为0的根是原方程的曾根。
方程两边同乘x-2, 得
解这个方程, 得x=2。
检验:当x=2时, x-2=0, 所以x=2是原方程的曾根, 原方程无解。
3 整体思想
整体思想是指从整体观点出发, 通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征, 从而对问题整体处理的整体思想。用整体思想解数学问题, 可使复杂的问题变简单, 陌生的问题变熟悉还可以使常规方法不易求解的问题得到解决。
例3:已知a=2006x+2006, b=2006x+2005, c=2006x+2007, 求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值。
分析:本题是一道求值问题, 如果将a, b, c的值直接代入计算, 则非常麻烦, 观察已知条件及所求式子, 联想所学习的数学知识, 可以通过整体思想求出a-b, b-c, ca的值进行整体的代入即可。
解:由已知, 得a-b=1, b-c=-2, c-a=1,
所以将a-b=1, b-c=-2, c-a=1代入所求式子的值为3。
4 函数与方程思想
函数与方程思想就是用函数的观点、方法研究问题, 将非函数问题转化为函数问题, 通过对函数的研究, 使问题得以解决。通常是这样进行的:将问题转化为函数问题, 建立函数关系, 研究这个函数, 得出相应的结论。
例4:已知弹簧的长度y (厘米) 在一定的限度内是所挂重物质量x (千克) 的一次函数。现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米, 挂3千克质量的重物时, 弹簧的长度是7.2cm.求这个一次函数的关系式。
分析:已知y与x的函数关系是一次函数, 则关系式必是y=kx+b的形式, 所以要求的就是系数k和b的值, 而两个已知条件就是x和y的两组对应值, 也就是当x=0时, y=6;当x=3时, y=7.2。可以分别将它们代入函数式, 进而求得k和b的值。
所以所求函数的关系式是y=0.4x+6。
总之, 在数学教学中应该把数学思想的培养与数学知识的教学融为一体。不仅教给学生数学知识, 即概念、性质、定理、法则、公式等, 而且更重要的是如何得到这些知识的过程。这个过程的实质就是发现数学和运用数学, 是比数学知识本身更重要、更为宝贵的数学思想和方法。在数学教学中要始终注意运用的是什么数学思想和数学方法, 告诉学生这种思想或方法的好处在哪里等等。一旦学生掌握了这些思想和方法, 将会终生难忘, 并且会在今后的学习和工作中长期发挥作用。
摘要：数学思想是数学中的精髓。开展数学思想方法教学是新课改中所必须把握的教学要求, 在数学教学中要始终注意运用的是什么数学思想要让学生明确这种思想的好处, 从而掌握和运用这些思想解决实际问题。
关键词：数学,数学思想
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) [M].北京师范大学出版社, 2001.
[2] 数学周报[M].北师大版八年级, 2008.
[3] 王冬平.促进学生有效学习的教学基本原理[J].中学数学教学参考, 2002.