论文题目：波利亚解题思想在解题教学中的应用 ——以圆锥曲线与方程为例
摘要：乔治·波利亚是著名的美籍匈牙利数学家,他通过阅读并整理Pappus、Descartes、Leibniz和Polchano的经典著作,同时结合哲学、逻辑学和心理学的背景发表出以启发式教学为导向的经典著作——《怎样解题》,书中的核心则是解题艺术的大成——“怎样解题表”,分为理解题目、制定计划、执行计划和回顾四个环节。圆锥曲线与方程是整个高中数学教学中的重难点,其考查形式较为综合,可与各个模块的知识点进行结合考查,同时也是几何和代数的结合考查。在解决圆锥曲线与方程的综合问题时,解题方法多种多样,但不是所有的解题方法都适用,如何找到合适的解题方法并进行正确解题是解题教学的重点。鉴于圆锥曲线与方程问题的抽象性较强,考查的知识点较广,应用较为困难的情况,波利亚的解题思想有助于简化问题的逻辑,其可操作性较强,在解题能力强化方面对学生起着不可估量的作用。为了更好的实现波利亚解题思想指导解题教学,本文的研究问题设置如下:（1）在无任何理论指导之前,学生在解圆锥曲线题目时的表现如何?存在怎样的不足?这些不足能否利用波利亚解题思想进行改进?（2）在渗透波利亚解题思想以及应用“怎样解题表”之后,学生在解圆锥曲线题目时出现的问题是否得到了改进?除了提高解题正确率以外学生又提高了哪些能力?基于上述问题,本文将采取文献分析法进行整理分析,借助问卷调查法和访谈法进行调查分析,并结合案例分析法进行检测。在问卷调查中选取的是哈尔滨市第六中学高二学年中平行班级的92名学生为测试对象,采取前测和后测的方式进行调查,前测致力于了解学生在波利亚“怎样解题表”中的四个环节的落实情况,后测致力于检测波利亚解题思想和解题教学策略实施后的效果;访谈的重点在于了解学生的解题能力、解题态度和解题困难。根据调查分析得出以下教学策略:在理解题目阶段:1.精准挖掘已知条件,2.多元解读题目问题;在制定计划阶段:1.精细剖析问题,培养严谨习惯,2.注重基础奠基,延续思维培养,3.提升思维转化,加强合情推理;在执行计划阶段:1.探索题型通法,总结规律原理,2.加强同题多法,提升逻辑思维,3.剖析解题方法,培养高效解题;在回顾阶段:1.总结问题成因,实现逐个突破,2.化被动为主动,巩固解题过程。在策略应用中结合历年高考题总结出的六大常考问题:轨迹方程、与圆锥曲线有关的统一性问题、最值问题、定点问题、探索性问题以“伴随圆”问题进行应用。最后,根据教学策略应用前后的对比分析,得出波利亚在解题教学策略中应用的效果。本文的研究结论如下:（1）在调查问卷的反馈中,发现学生们理解题目不认真,对已知条件的解读不够深入,解题思路模糊,解题步骤的理解较为僵化,运算能力薄弱,课后反省不到位等问题。（2）根据调查问卷呈现的结果针对学生的理解题目不认真以及对已知条件的解读不够深入的情况,可以在“理解题目“环节将已知、条件和未知进行分类,并结合公式定理的推导,将已知条件进行代换,逐渐向未知靠拢;对于解题思路模糊的情况,可以在“制定计划”环节中联系以往做过的问题,并由此展开联想,从已知到未知进行构建思路;对于解题步骤的理解较为僵化、运算能力薄弱的情况,可以在“执行计划”环节让学生对于解题步骤进行说明,并采取适当的验证,同时加强运算原理的掌握;对于课后反省不到位的情况,可以在“回顾”环节让学生进行二次证明,并将结论应用于其他题目中,以此验证知识的掌握情况。
关键词：波利亚解题思想;怎样解题表;解题教学策略;圆锥曲线与方程
学科专业：学科教学（数学）
摘要
Abstract
第一章 绪论
一、研究背景
(一)解题教学在数学教学中的重要性
(二)波利亚解题思想在解题教学中的作用
(三)高中教材中的圆锥曲线
(四) 《普通高中课程标准》对圆锥曲线的要求
(五)圆锥曲线在高考中的地位
二、研究目的
三、研究意义
(一)对学生学习发展的意义
(二)对教师教学发展的意义
四、研究思路
五、研究方法
(一)文献分析法
(二)问卷调查法
(三)访谈法
第二章 相关理论及文献综述
一、波利亚的解题理论
(一)波利亚的简介
(二) “怎样解题表”的介绍
(三)波利亚解题思想的分析
二、相关概念界定
(一)问题
(二)圆锥曲线与方程问题
(三)解题
(四)解题教学
三、文献综述
(一)波利亚解题思想的研究现状
(二)数学解题教学的研究
(三)高中圆锥曲线与方程的研究
(四)综述小结
四、波利亚解题思想指导高中圆锥曲线与方程的解题教学的可行性分析
(一)波利亚的解题思想在课标中的体现
(二)高中圆锥曲线题目的特点
(三)学情分析
第三章 关于学生在圆锥曲线与方程的解题情况的调查研究
一、调查目的
二、调查对象和调查时间
(一)调查对象的选取
(二)调查时间的确定
三、调查方法
四、研究工具
(一)数学解题能力和水平的划分
(二)调查问卷设计思路
(三)访谈设计思路
五、问卷调查结果与分析
(一)调查问卷信效度检验
(二)调查问卷统计结果和分析
六、访谈结果与分析
(一)在解题习惯方面
(二)在解题能力方面
(三)在解题困难方面
七、解题中存在的问题成因分析及教学任务
(一)理解题目阶段
(二)制定计划阶段
(三)执行计划阶段
(四)回顾
第四章 基于波利亚解题思想的解题教学策略
一、理解题目阶段,培养审题习惯
(一)精准挖掘已知条件
(二)多元解读题目问题
二、制定计划阶段,提高解题质量
(一)精细剖析问题,培养严谨习惯
(二)注重基础奠基,延续思维培养
(三)提升思维转化,加强合情推理
三、执行计划阶段,提高解题能力
(一)探索题型通法,总结规律原理
(二)加强同题多法,提升逻辑思维
(三)剖析解题方法,培养高效解题
四、回顾阶段,养成反思习惯
(一)总结问题成因,实现逐个突破
(二)化被动为主动,巩固解题过程
第五章 解题教学实践
一、解题教学策略的应用
(一)课前筹备
(二)课中进行
(三)课后反省
二、解题教学案例
(一)轨迹方程的探求
(二)与圆锥曲线有关的统一性问题
(三)与圆锥曲线有关的最值问题
(四)与圆锥曲线有关的定点问题
(五)与圆锥曲线有关的探索性问题
(六)圆锥曲线中的“伴随圆”问题
三、解题教学策略的有效性分析
(一)调查对象和调查时间
(二)调查问卷统计结果和分析
(三)调查问卷数据结果和分析
第六章 结论与展望
一、结论
二、解题教学建议
(一)解题教学的准备建议
(二)解题教学中的实行建议
三、研究不足
四、展望
参考文献
附录1 波利亚怎样解题表
附录2 关于圆锥曲线与方程解题情况的问卷调查
附录3 关于解题情况的问卷调查
致谢