借助坐标系, 运用代数知识来研究几何图形的方法叫做解析法。极坐标法是除直角坐标法以外的另一种常用的解析法。
对于平面图形, 可选取适当的直角坐标系求得其解, 也可选取适当的极坐标系, 建立点的极坐标或线的极坐标方程, 运用极坐标知识、代数知识、三角知识等进行运算求得结论, 这种解题方法就是极坐标法。下面就来谈谈极坐标法解平几题。
1 极坐标法解题中怎样选取坐标系
选取适当的极坐标系, 是运用极坐标系解题的关键, 为了便于表达和计算, 通常应选取最简便的坐标系。选取什么样的坐标系最合适, 这没有固定的规律, 但应尽量利用所论图形的特点和已知条件, 做到: (1) 尽量使已知条件的表达形式简单。 (2) 使运算过程最简单。 (3) 使所要求的结论易于表示, 并且几何意义明显。
2 极坐标法解题的步骤
运用极坐标法解平几题时, 一般按下列步骤进行。
选取坐标系。根据图形的特点及已知条件, 选取适当的点作为极点, 选取适当的射线作为极轴, 这是运用极坐标法解最关键的一步。坐标系的选取直接影响解题过程的繁简。
确定已知点的坐标或线的方程。根据选定的坐标系, 确定已知点的坐标, 建立已知直线、曲线的方程。为此, 必须引入一些参量。例如, 线段的长度等。
进行运算, 求得结构。根据点的坐标、线的方程, 应用极坐标的有关知识及代数、三角知识进行数和式的计算和变动, 求出需求的结果。
讨论结构, 作出结论。求出需要的结果后对结果进行分析、讨论, 再赋予它几何意义, 从而完成对几何命题的研究。
3 用极坐标法解平几题举例
用极坐标法解题应掌握极坐标系中的有关公式与方程。如距离公式、直线方程、圆方程等。同时还应掌握相应的平面直角坐标中的有关公式和方程。
一般说来, 平几题中求线段的长, 证明线段的相等关系、复杂比例关系、线段的问题等, 使用极坐标法都比较简便, 下面分别举例说明。
3.1 求线段的长
例1, 已知三角形两边的长及两边的夹角, 求夹角的角平分线的长。
解:如图1, 不论△ABC是怎样的三角形, 我们都可以建立以A为极点, AC所在的直线为极轴的极坐标系。
设B、C两点的坐标分别为B (c、A) 、C (b、O) , 则BC所在的直线方程为:
又∠A的角平分线AD所在的直线方程为:B (C、A) 。
把 (2) 代入 (1) :
∴AD的长为。根据上面的方法, 同样地可求∠A的角的平分线长。
3.2 证明线段相等
例2, 在△ABC中, 在AB、BC边上分别作正方形ABDP、BCFG。求证:GA=DC。
证明:选如图2所示的坐标系,
设BC=ρ1, AB=ρ2, ∠ABC=θ, 则A、C、D、G点的坐标如图示。根据极坐标中两点间的距离公式可得:
3.3 证明线段的复杂比例式
例3, 在圆内接四边形A B C D中BC=CD, 求证:AC2=AB·AD+BC2
分析:要证明AC、AB、AD、BC间复杂关系式, 而这些线段通过A点或C点, 因BC=CD, 所以∠BAC=∠CAD, 故选A为极点, AC所在直线为极轴的坐标系。
证明:选如图3所示的坐标系, 设AB=ρ1、AC=ρ2、AD=ρ3、BC=CD=a
∠BAC=∠CAD=θ, 则B、C、D的坐标分别如图3所示:
由距离公式有:
(3) ×ρ3- (2) ×ρ1
得a2 (ρ3-ρ1) =ρ1ρ3 (ρ1-ρ3) +ρ22 (ρ3-ρ1) 当ρ1≠ρ3时, 有a2=-ρ1ρ3+ρ22即ρ22=ρ1ρ3+a2
当ρ1=ρ3时, 即AB=AD时, 此时AC为圆的直径, 显然有AC2=AB·AD+BC2
4 用极坐标法解平几题应注意的问题
运用极坐标法解题, 除了前面讲的选取适当的坐标系外, 还应注意将所论问题中已知与求证作适当的转化, 利用置换关系求有关点的坐标与曲线的方程等。选用极坐法来解答平几题, 主要是为了使问题便于得到解决。因此, 不能对任何一道平面几何题都使用极坐标法来解答, 必须根据题目的具体情况作具体的分析, 选用最简单的解题方法。
摘要：本文对极坐标法解平几题进行分析:通过先取坐标、解题步骤、举例及注意的问题进行论证。
关键词：解平几题,用极坐标法