基本不等式及应用教案

作为一名教职工，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《基本不等式及应用教案》，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助！

第一篇：基本不等式及应用教案

基本不等式的证明 教案

课题：基本不等式的证明(1)

斜桥中学肖剑

一、教材分析

不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法(比较法、分析法、综合法)为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标

1.知识目标：⑴知道算术平均数和几何平均数的概念

⑵探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法;

⑶能利用基本不等式证明简单的不等关系。

2.情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式

中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

3.能力目标:⑴通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简

单的方法证明其它不等式问题。

⑵体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力

三、教学重、难点

以学生探索发现定理来得出重点，以学生小组讨论，教师点拨来突破难点。

四、教学方法

以学生自主探究为住，教师归纳总结，采用启发式教学。

五、教学过程

1、创设情境、导入新课

利用多媒体显示下面不等式，由学生完成比较大小。

34294

423

32222

2、问题探究、讲授新课

提出问题：能否发现什么规律?

通过比较，学生不难得出，两数和的一半大于两数积的算术平方根。从而得出数学表达式abab。从而得出本节课的第一个重点：基本不等式的定理。 这样由学生自主探索、

2发现新知，可让他们体会获得成功的愉悦感。在这里，如果学生漏掉a和b是正数，可对他们进行修正，并可扩充到a0，b0。同时讲明取“=”当且仅当的含义，接着可向学生讲

解算术平均数和几何平均数的概念。

得出这个定理后，下面我可利用多媒体生动地向学生展示该不等式的几何证明即不等式的几何意义同时强调取等号时的位置，这样可提高他们学习数学的兴趣。展示完后，我便可提问，刚才我们是从图中直观地看出这个不等式是正确的，但我们数学是需要严谨的逻辑证明，同学们可用哪些方法去证明呢?这便是本节课的第二个重点，也是难点。在此，可鼓励学生发挥集体的力量，一人不行两人，两人不行四人，大家一起探讨，这样以学生为主体，使他们全都参与到课堂中去，使课堂达到高潮。在学生的讨论过程中，我也深入到学生中去，并做适当的点拨。

通过学生的讨论，学生不难得出用作差的方法证明该不等式，对此，我对他们进行鼓励、肯定，竖立他们学习数学的自信心。同时向他们讲明作差比较是我们高中阶段证明不等式的重要方法之一。最后我用多媒体展示书写过程，帮他们再次强化该方法的书写步骤。对于分析法，我估计学生可能会想到思路，会说出大致的证明过程，但对该方法的理解还是很模糊的，在这里，我首先向他们介绍这就是分析法，是我们证明不等式的另一个重要方法，接着讲解该方法，即从结论出发，推到已知结论或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成书写，帮他们学会规范的书写，即“要证，只要证”的形式

要证abab

2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab 2

因为最后一个不等式成立，所以ab ab成立，当且仅当ab，即ab时取"" 2

对于综合法，在证明这道题时，如果学生没有先想到，就把本方法在最后的方法中讲，因为综合法在本题中不易想到从哪个式子开始证明，但有了比较法和分析法后，学生自然能想到从哪个式子开始证明，同时讲清综合法的特点，即由条件，推倒结论。

讲完三种证明方法后，留一定时间给学生，让他们自己去感悟一下三种方法的特点及书写过程，加深他们的印象。

b2a2

最后，我以巩固本节课所学知识为目的，让学生比较:与ab的大小(其中ab

a,bR)，在这里，我认为比较两个变量的大小，可引导学生利用我们上课一开始比较具体数大小的方法，代几个具体的数去比较。这种方法在我们以后做填空题中比较大小是一种捷径。而本题的证明可利用我们今天课上所讲的三种方法，我打算让两位学生在黑板板演，以检验他们掌握情况与书写格式是否合理。如时间还有剩余，可由学生完成例一，帮他们巩固基本不等式定理。

例一1.设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba12(2) a2 aba

162.已知函数yx，x(2,)，求此函数的最小值。 x2(1)

六、回顾反思：

本节课的最后，由学生思考今天所学到了哪些知识，这些知识可解决哪些问题?

七、板书设计

基本不等式

一、定理

abab (a0，b0)

2二、证明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶综合法

三、探索 ab比较2a2b2的大小 2

如何证明

例一

第二篇：积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院

毕业论文(设计)

题 目：积分不等式的证明及应用

所 在 系： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用. 关键词 积分不等式;中值定理;函数

0. 引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等. 1. 积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1) 若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b,

使得fxdxfba. ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明. 证 由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n. ,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.

i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续;iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论. 例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.

xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理. 证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x. ,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.

ababfxMxa,xa,,fxMbx,x,b22,

故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M. 注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明. 1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.

1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.

x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进. 证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0,

0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0,

1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx. 例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.

2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x,

x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx. 通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性. 1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.

例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式. 分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分. 证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy,

aapxgxdxpygydy.

aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知,

D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号,

于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0. 即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.

aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题. 1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式. 例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.

2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.

证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.

2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定(大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零)的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,

ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变. 这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.

2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用. 1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx. aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.

babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.

a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是,

bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a. 2. 一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用. 例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.

11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.

证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,

gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx. 1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx. 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效. 例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2

2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式. 此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.

定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数(指下凸函数),则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向. 定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向. 例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx. 证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立. 例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx. 证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young不等式的应用

Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab. 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.

例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立. 证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有,

a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb. 2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.

a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式;以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决. 参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223. [2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35. [3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77. [4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧(上)[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.

[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102. [6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89. [7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108. [8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109. [9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38. [10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993. The proof and application of integral inequality Department of Mathematics and Computational Science

Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、 some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.

Key word: integral inequality; theorem of mean; function

第三篇：不等式的基本性质优秀教案

课时课题：第二章 第二节不等式的基本性质

课

型：新授课 授课人： 授课时间： 教学目标：

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x

3.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

教学重难点：

重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 难点：能根据不等式的基本性质进行化简. 教学过程：

一、复习引入，导入新课

师：我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗? 生：记得.

等式的基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

等式的基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式. 师：不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. 设计意图：通过回顾等式的性质，为本节课类比等式的性质去探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，有助于学生建立新旧知识之间的联系，让学生养成梳理知识体系的习惯。

二、情境导入：童言无忌(课件)

三岁的小凯幼儿园回家开始缠着他的爸爸说：“爸爸，你比我大多少岁啊?”爸爸放下手中的报纸笑眯眯的答道：“我比可爱的小凯大25岁呀，怎么了?”小凯高兴地跑开道：“再过25年我就和爸爸一样大唠”。 留下错愕的爸爸沉浸在“百感交集”中„„„„

设计意图：学生对故事很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。

三、新知探究

教师活动：展示课件，请同学们完成填空，并探究规律。

1、用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：

(1) 5>3, 5+2 3+2 , 5-2 3-2 ; (2)–1<3 , -1+2 3+2 , -1-3 3-3 ; 学生活动：探究规律，交流讨论，解答上述问题，结果： (1) > 、 > (2) < 、 < 根据发现的规律填空: 当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 师生共识：总结出不等式的性质：

板书：不等式的性质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 字母表示为： 如果a>b，那么a±c > b±c 解决“童言无忌”的问题

2、继续探究，接着又出示(3)、(4)题：

(3) 6>2, 6×5 2×5 , 6×(-5) 2×(-5) ; (4) -2<3, (-2)×6 3×6 , (-2)×(-6) 3×(-6) (方法同上)又得到：

当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变; 当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变。

板书：不等式的性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 字母表示为：如果a>b,c>0,那么ac > bc.

3、继续探究，接着又出示(5)、(6)题：

(5) 6>2,

6×(-5)____2×(-5)

6÷ (-5)____2÷ (-5) ; (6) –2<3, (-2)×(-6)____3×(-6)

(-2) ÷(-6)____3÷ (-6) 会发现: 当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时,不等号的方向______; 板书：不等式的性质 3 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

字母表示为：如果a>b，c<0,那么ac < bc.

l2l2 的正确性 4.用不等式的基本性质解释416l2l2l2l

2师：在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有存

416416在，你能用不等式的基本性质来解释吗?

生：∵4π<16 l2l2

∴ ，又∵l20

416l2l2

根据不等式的基本性质2，两边都乘以l得

4162设计意图：通过自主探究，对比不等式的变化让学生得出不等式的基本性质.。这样，既教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，又培养了学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。通过两道题目的训练提升学生利用不等式基本性质解决问题的能力。并进一步熟悉不等式的基本性质。

5.例题讲解

将下列不等式化成“x>a”或“x

(1)x-5>-1;

(2)-2x>3;

生：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得

x>-1+5

即x>4;

(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得

x<-3; 2说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否. 程序说明：教师对题目进行分析，并引导学生题目的处理方法，如何才能将下列不等式化成“x>a”或“x

讨论下列式子的正确与错误.

(1)如果a

(2)如果a

(3)如果a

(4)如果a

ab. cc

师：在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.

本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.

生：(1)正确

∵a

a+c

∴结论正确.

同理可知(2)正确.

(3)根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得

ac

所以正确.

(4)根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得

所以结论错误.

师：大家同意这位同学的做法吗?

生：不同意.

师：能说出理由吗?

生：在(1)、(2)中我同意他的做法，在(3)、(4)中我不同意，因为在(3)中有a

在(4)中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c>0,则有

ab ccabab,若 c<0，则有,而他只说出了一种情况，所以结果错误. cccc

师：通过做这个题，大家能得到什么启示呢?

生：在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.

师：非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.

生：不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.

区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式;在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变. 联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上(或减去)，同时乘以(或除以，除数不为0)同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.

设计意图: 让学生通过尝试练习与交流讨论，加深对性质的理解和运用。题目中的不等式变形中，将同加、减、乘(或除以)具体数字换成了表示数的字母，渗透了分类讨论的数学思想，加大了难度，有助于学生能力的提升，为解不等式作好铺垫.在这个环节的教学过程中，放手让学生展示、说理、点评、争论，充分发挥学生学习的主体作用.程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

四、训练反馈

1.填空：如果a>b,那么

(1)3a 3b; (不等式性质 ) (2)-a -b; (不等式性质 ) (3)-a+2 -b+2 ; (不等式性质 )

ab(4)1 1. (不等式性质 )

222. 用“<” “>”填空：

(1)若3x>3y,则x y; (2)若-2x<-2y,则x y; (3)若5x+1<5y+1,则x y. 3.(1)若3x>6，则x ;

(2)若3x>6，则x ;

(3)若4x5>9，则4x 95，即4x 4，得x 1. 4.判断下列各题的结论是否正确?并说明理由. (1)若ax>b，且a>0，则x>b;

a(2)若ax>b，且a<0，则x>b;

a(3)若a>b，则ac2>bc2; (4)若ac2>bc2，则a>b. 5.若xay的条件是 . A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D. a≤0 程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

(二)训练二

6.有人说:因为5>3,所以5a>3a,你认为对吗?为什么? 7.把下列不等式化为x>a或x

(1)2x5>3 (2)3x2>4

程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

设计意图: 分层测评，意在尊重个体差异，面向全体，激发学生的学习热情，挖掘每一个学生的潜能，让不同层次的学生得到不同程度的发展.

五、课时小结

教师活动：

1. 本节课你学习了那些新知识?

2. 在数学思想或方法上，你有什么感悟? 3. 在小组学习中，你觉得应该注意些什么? 4. 你还有什么困惑吗?

学生活动：畅所欲言，说出自己对本节课学习的感受和收获。

(预设问题)

1.等式与不等式的基本性质有什么相同点和不同点?

2.对不等式进行变形要特别注意什么

设计意图：让学生通过总结反思，一是为了进一步引导学生反思自己的学习方式，有利于培养归纳、总结的习惯，让学生自主构建知识体系;二是为了激起学生感受成功的喜悦，激励学生以更大的热情投入到以后的学习中去。比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识，发展学生的辨证思维。

六、限时作业

课本P42 习题2.2 知识技能 2 设计意图：通过作业来规范学生题目完成的规范性.

七、教学反思：

本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程.用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段.让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质.这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础.

教学过程中贯穿了一条“创设情境，引出新知—实验讨论，得出性质—探究辨析，突破难点—运用性质，解决问题”的线索，使学生真正成为学习的主人.在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高.

为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用“不等式性质3"，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识.在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用.同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通.

第四篇：高中数学知识点：不等式的证明及应用

不等式的证明及应用

知识要点：

1.不等式证明的基本方法：

ab0ab

(1)比较法：ab0ab

ab0ab

用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。

(2)综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式(a2 | a a0; a2b22ab;a3b3c33abc等)，推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个(一组)已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。

(3)分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。

2.不等式证明的其它方法：

(1)反证法：理论依据AB与BA等价。先否定命题结论，提出假设，由

此出发运用已知及已知定理推出矛盾。根据原命题与逆否命题等价，A得证。

(2)放缩法：理论依据 a > b,b > ca > c B

(3)函数单调性法。

3.数(式)大小的比较：

(1)作差或作比法(2)媒介法(3)函数单调性法

4.不等式在函数中的应用：

(1)求函数的定义域(2)求函数的值域(3)研究函数的单调性

5.基本不等式法求最值：

(1)均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。

(2)绝对值不等式|a||b||ab||a||b|的应用。其中|ab||a||b|取等号

的条件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等号的条件是ab。

6.方程与不等式解的讨论

(1) 一元二次方程ax2

a0,b2bxc0有严格的顺序性： 及x1,2b2a4ac0,bx1x2acxx12a。

(2)函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。

第五篇：八下不等式的基本性质教学设计及反思

第八章

一元一次不等式

不等式的基本性质2

一、学生知识状况分析

本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上，开始研究简单的不等关系。通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的，但面对大量的同类量，最容易使人想到的就是它们有大小之分。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。

二、教学任务分析

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。 本节课教学目标：

(1)知识与技能目标： ①掌握不等式的基本性质。

②经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

(2)过程与方法目标：

①能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

②进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。 (3)情感与态度目标：

①尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。 ②关注学生对问题的实质性认识与理解。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入，提出问题;第二环节：活动探究，验证明确结论;第三环节：例题讲解及运用巩固;第四环节：课堂小结;第五环节：

1 布置作业。

第一环节：情景引入，提出问题

活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平?

活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。

活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。

第二环节：活动探究，验证明确结论

活动内容： 参照教材与多媒体课件提出问题： (1) 还记得等式的基本性质吗?

(2) 等式的基本性质1用字母可以表示为：ab,acbc，那么不等式的基本性质1是什么?先猜一猜。

(3) 如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果会怎样?请举几例试一试，并与同伴交流。

(4) 不等式的基本性质与等式的基本性质类似，对于等式的基本性质2，用字母可以表示为：ab,acbc,acbc，其中c0。对应的大家能不能归纳出不等式的基本性质2是什么呢?

(5) 例如：如果比高度的两个人不是同时增加或减少相同的高度，而是成倍的增加(或缩小)自身的高度，结果又会怎样?

(6) 例如：商场A种服装的标价高于B种服装的标价，如果都打八折出售，那么还是A种服装价格高。通过这些例子，你发现了什么?能得到一个什么类似的结论?

(7) 如果乘以(或除以)同一个负数呢?

(8) 通过实际的计算、观察、与同伴交流，得出什么类似的结论?

活动目的：通过等式的基本性质对比不等式的基本性质，由数学情境转化成数学问

2 题，由特殊的数值到字母代表数，从中归纳出一般性结论。进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。

活动实际效果：以问题串的形式引导学生一步步从对比中自己先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。因此在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引。这时，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。

第三环节：例题讲解及运用巩固

活动内容：

1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长l取何值，圆的面积总大于正方l2l2。你相信这个结论吗?你能利用不等式的基本性质解释这一结论形的面积，即416吗?

2、将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式： (1)x51 (2)2x3

3、将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式： (1)x12 (2)x51 (3)x3 6

24、已知xy，下列不等式一定成立吗?

3x3y 2x2y 2x12y1 (1)x6y6 (2)(3)(4)活动目的：在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的基本性质的理解。随堂练习学生独立完成，师生共同讲解，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯，并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。

活动实际效果：学生在讲解例题与练习的过程中，思维非常活跃，都非常踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范，达到预期教学目的。

第四环节：课堂小结

活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，与全班同学讨论交流。

3 活动目的：学生说出自己的收获与感想与全班交流，若有任何疑问可以当堂提出供大家讨论。教师要学会倾听并鼓励学生的回答，关注学生对问题的实质性认识与理解，尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。

活动实际效果：学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题，畅所欲言自己的切身感受与实际收获，除了今天所学新的内容之外，还复习巩固了等式的基本性质，体会新旧知识的联系与区别。

第五环节：布置作业

习题8.1

四、教学反思

对于不等式的基本性质的引入，生活中不相等的量有很多，具体教学时可以根据实际情况列举不同的例子。

本节课是以比高矮这个贴近生活的例子引入，充分的调动学生积极性。教学中问题串的设置均与等式的基本性质相联系，引导学生一步步从类比中自己先猜想不等式基本性质的雏形、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。

在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。

再教设计：在探索及运用不等式的基本性质时，应该让学生多举一些生活中的不等关系，更加容易加深学生的理解。