等腰三角形有等边对等角的性质,且有锐角、直角、钝角等等腰三角形之分.当所给问题条件不明确时,应按不同的情形进行行分类求解,可能得出单解或双解,否则会出现多解和漏解的情情况.由于学生思维单一,分类讨论的意识不强,故每次测试时解解等腰三角形的问题得分率并不高,下面以几种不同的情形进行行解析探讨,进而提高解题的完整性和正确性。
1已知两边,求等腰三角形的周长
例1:已知等腰三角的两边为6和13,求它的周长。
分析:6可能是腰,也可能是底,先分两种情况讨论,然后用用三角形三边的关系判断假设是否成立,防止多解或漏解。
解:(1)若6是腰,则三角形的三边是6、6、13,因为6+6<133,不满足三角形三边关系,所以不成立;
(2)若6是底 , 则三角形的三边是6、13、13, 因为6+13>133,所以三角形的周长是32。
答:等腰三角形的周长是32。
2已知等腰三角形的一个内角或外角,求它的底角
例2、已知等腰三角形的一个外角为110° ,求它的底角。
分析:根据等腰三角形的一个外角等于110°,假设(1)底角角的外角是110°,也有可能(2)顶角的外角是110°,从而求出答案。。
解:(1) 当110°外角是底角的外角时, 底角为:180°-110°=°=70°,(2)当110°外角是顶角的外角时 ,顶角为 :180°-110°=70°,则则底角为:(180°-70°)÷2=55°。
故答案为:70°或55°。
变式:已知等腰三角形的一个外角为70°,求它的底角(单单解:35°)
3已知等腰三角形一腰上的高和腰长的关系 ,求等腰三角形形的底角
3.1数量关系
例3、已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,求它的的底角。
分析:本题中只说明是等腰三角形,没有指明是锐角三角角形还是钝角三角形,故应分两种情况进行讨论。
解:(1)当等腰三角形为锐角三角形时,腰上的高在等腰三三角形内部,如图1,BD为等腰△ABC腰AC上的高,并且BD=1/2
AB。根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用 ,可可知顶角为30°,此时底角为75°;
(2) 当等腰三角形是钝角三角形时 , 腰上的高在三角形外部,如图2,BD为等腰△ABC腰AC上的高,并且BD=1/2AB。
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用,可知顶角的邻补角为30°,此时顶角是150°,底角为15°。
故答案为15°或75°。
例4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,求等腰三角形的顶角。
解析:读到此题,我们首先想到等腰三角形有锐角、直角、钝角等腰三角形之分 ,当为等腰直角三角形时,不可能出现题中所说情况, 应舍去不计。我们可以通过画图来讨论剩余两种情况,答案为30°或150°。
变式:等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为30°,腰长为6,求底边长。
变式:等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为30°,腰长为6,求底边长。
3.2 位 置关系
4已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长
例5、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长。
分析:已知三角形的周长被分为9和15两部分,没有明确哪一部分含有底边,故要分类讨论,设三角形的腰长为x,要分两种情况讨论:x+1/2x=9或x+1/2x=15。
解:设三角形的腰长为x,如图3:△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD是AC边上的中线,则有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面两种情况解。
(1)x +1/2x =9,∴x =6, 三角形的 周长为
9 +15 =24,∴三边长 分别为6,6,12,∵6 +6 =12,不符合三角形的三边关系 ,∴舍去 ;
(2)x+1/2x=15,∴x=10,∴三边长分别 为10,10,4,∵10+4>
10,符合三角形的三边关系 ,∴等腰三角形的底边长和腰长分别为4,10,10。
5已知等腰三角形一腰上的垂直平分线和另一腰的位置关系、求等腰三角形的底角
例6、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为40°,求底角∠B的大小。
分析 : 根据题意 画出图形 , 求出∠BAC的度数,因∠B=∠C,结合三角形内角和定理求出即可。
解:分两种情况:
当△ABC为锐角三角形时,如图4
∵DF是AB垂直平分线 ,
∴∠DEA=90°,
∵∠EDA=40°,
∴∠A=50°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B=65°。
2当△ABC为钝角三角形时,如图5,
∵DF是AB垂直平分线 ,
∴∠DEA=90°,
∵∠EDA=40°,
∴∠DAE=50°,
∴∠BAC=130°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=25°.
答:∠B 为 650 或 25°.
总之,在解等腰三角形时,要注意有腰与底之分,底角和顶角之分; 不同类的等腰三角形腰上的高线和垂直平分线位置不同.数形结合、分类讨论的数学思想方法是解决等腰三角形有关问题的关键。
摘要：等腰三角形有等边对等角的性质,且有锐角、直角、钝角等腰三角形之分,当所给问题条件不明确时,必须分类讨论,否则会出现多解或漏解的情况.本文精挑细选了等腰三角形有关问题的各种典型题例,和大家共享。
关键词：等腰三角形,周长,底角,底边,高线,垂直平分线