安徽中考数学压轴题

第一篇：安徽中考数学压轴题

2013年安徽省中考数学压轴题赏析

安徽省太湖县晋熙中学(246400)朱记松汪本若

邮箱：ahthzys@163.com

一、原题呈现

我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。

(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)。

(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：ABBE。

DCEC

(3)在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么?若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何?写出你的结论(不必说明理由)

第23题图1第23题图2第23题图

3二、试题解答

(1)如图所示：(画出其中一种即可)

第23题(1)答案图

(2)证明：∵ AE∥CD， ∴∠AEB=∠C ， 又∵AB∥ED， ∴∠B=∠DEC，∴ △ABE∽△DCE。即：AEBE。 =CDEC

ABBE。 =CDEC又∠B=∠C，∴△ABE为等腰三角形，AB=AE。故

(3)解：过点分别作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分别为F，G，H(如图)

第23题(3)答案图

∵AE平分∠BAD，∴EF=EG。

又ED平分∠ADC，∴EG=EH，∴EF=EH，

又∵EB=EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠3=∠4，

又∵EB=EC，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠4+∠2，即∠ABC=∠DCB。

又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。

当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：

当E点在边BC上时，四边形ABCD是“准等腰梯形”，如下图(1)示：

EB =3 .0厘

2米

EC =3 .0厘2米

BAE =5 1.2°9

EAD =5 1.2°9

ADE =6 8.7°6

EDC =6 8.7°6

ABC =5 9.9°

4DCB =5 9.9°4

B

图(1)

当E点在四边形ABCD外时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”，如图(2)(3)示，图(2)中的四边形ABCD不是“准等腰梯形”;图(3)中的四边形ABCD是“准等腰梯形”。

BAE = 53.96°

EAD = 53.96°

ADE = 68.98°

EDC = 68.98°

EC = 4.06厘米

BE = 4.06厘米

ABC = 55.52°

BCP = 58.59°

图(2)图(3)

三、深入研究

(一)规律探究

通过上述解析，我们发现，由于E点所处的位置在∠BPC的平分线上不能唯一确定，满足“在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC”的条件下的四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。它何时为“准等

腰梯形”引发了笔者的思考。笔者经过探究发现：连接PE，无论E点在四边形ABCD内，或边BC上，或四边形ABCD外，若∠BPC的平分线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。具体分析如下：

1、若PE⊥BC，无论E点在四边形ABCD内部，如图1—1;或 E点在边BC上，如图1—2所示;或E点在四边形ABCD外部，如图1—3所示。由∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，则PE为∠BPC的平分线。因为PE为BC的垂直平分线，由轴对称可知∠ABC=∠DCB。又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。

B

图1—1图1—

2B

图1—3图1—

42、若PE不与BC垂直，如图1—4所示，根据角的轴对称性可以作ΔPBM关于射线PM的对称图形ΔPNM，因∠NMC≠0，则NC≠0，即B、C不重合，∠ABC≠∠BCD。四边形ABCD不是“准等腰梯形”。

综上所述，在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，EB=EC，若直线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。

(二)追根溯源

掩卷长思，不禁想起安徽省2008年中考试题的第22题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，特将原题摘录如下：

(2008 安徽)已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。

(1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC。

第22题图1第22题图

2(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC。

(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗?请画图表示。

经过比较，发现这两道的本质是一致的，主要表现在：

1、已知的条件是一致的。

由(2008年第22题)的已知条件“O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等且OB=OC”，可以得到点O既在∠A(或∠A的邻补角)的平分线上，又在线段BC的垂直平分线上;由(2013年第23题)的已知条件“∠BAD与∠ADC的平分线交于点E， EB=EC”亦可得出E点在∠BPC的角平分线上，又在线段BC的垂直平分线上。

2、设置的问题是一致的。

(2008年第22题)设置了三个问题，根据O点的三种不同位置，探索AB、AC之间的数量关系;(2013年第23题)同样是根据E点的三种不同位置，探索∠ABC、∠BCD之间的数量关系，即转化成探索PA、PB之间的数量关系。

3、分析的思路是一致的。都要运用分类讨论的数学思想。

4、隐含的规律是一致的。(2008年第22题)无论O点是在三角形内，或BC边上，或三角形外，AB=AC成立的条件是“∠BAC平分线O A⊥BC”; (2013年第23题)无论E点在四边形ABCD内，或在边BC上，或在四边形ABCD外，四边形ABCD为“准等腰梯形”的条件是∠BPC的平分线PE⊥BC。

或许有老师说，前五年的中考题再次走进中考考场，这公平吗?

其实不然，这道题还确实体现了中考的公平。理由是：“准等腰梯形”是一个新的几何图形的定义，几乎所有的教辅资料上都没有见过，属于原创，且表述简洁，明了能较好地考察学生自主阅读、自主学习新知识、并运用新知识分析并解决一些简单问题的能力，这正是新课标所倡导的;考察了核心知识和基本的数学思想，关注了学生的基本经验，紧扣课程标准，试题不偏不难，也没有繁杂的推理和计算，尤其值得一提的是，该题第(1)、(2)小问比较基础，只要学生平时认真学了，绝大部分考生都可以得到一定的分数，从这个角度看，作为本卷的压轴题同样也体现了中考命题的公平公正。

四、几点启示

1、平时教学中，要引导学生用联系的观点看问题，尤其在复习的过程中，要将相关知识点进行有机整合，串联起来，建立知识网络，形成能力;

2、加强例习题的教学，挖掘出例习题所蕴含的基本数学思想和方法，引导学生进行解题后的反思。做到在解题中训练，在反思中欣赏，在欣赏中提升;

3、应加强对课标，考题的研究。教师研究的范围要广，不仅要研究它考查的内容，考察的深度，难度及解题思路，还应加强对考题的变式研究，提倡“陈题新编，陈题新做”，切忌“拿来主义”，用研究的成果来指导教学实践，使教学的针对性更强，训练的效果更好。

第二篇：如何应对中考数学压轴题

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如何应对中考数学压轴题

作者：玉孔总

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第07期

近几年的中考试题，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角.以图形运动中的函数关系问题为例，这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系.现谈谈笔者十年来指导中考复习的一些感悟.

一、解数学压轴题的策略

解数学压轴题可分为五个步骤：1.认真默读题目，全面审视题目的所有条件和答题要求，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，理解好题意;2.利用重要数学思想探究解题思路;3.选择好解题的方法正确解答;4.做好检验工作，完善解题过程;5.当思维受阻、思路难觅时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃.

二、解动态几何压轴题的策略

近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题，用到圆、三角形和四边形等有关知识，方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置;在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.

简析：本题是一个双动点问题，是中考动态问题中出现频率最高的题型，这类题的解题策略是化动为静，注意运用分类思想.

三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题

数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁 .近几年的各省市中考数学试题，越来越注重数学思想和数学方法的考查，这已成为大家的共识，为帮助读者更好地理解和掌握常用的基本数学思想和数学方法，特用一例说明.

第三篇：中考数学几何证明压轴题 (1)

AB

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,

且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;

(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证

明你的结论;

(3) 在(2)的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.

2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.

(1)求证：△ADE≌△CBF;

(2)若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD

是什么特殊四边形?并证明你的结论.

F

3、如图13-1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.

(1)如图13-2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测

量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想;

(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长

线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜

想还成立吗?若成立，请证明;若不成立，请说明理由.

A( B( E )图13-1 图13-

2图13-

31.[解析] (1)过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.

证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.

所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC. 2

所以，CECF,ECDBCF.

所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.

(3)设BEk,则CECF

2k，所以EF.

因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.

所以BF3k 所以sinBFEk1. 3k3

2.[解析] (1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD .

∵点E 、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=11AB ，CF=CD . 22

∴AE=CF

∴△ADE≌△CBF .

(2)当四边形BEDF是菱形时，

四边形 AGBD是矩形.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC .

∵AG∥BD ，

∴四边形 AGBD 是平行四边形.

∵四边形 BEDF 是菱形，

∴DE=BE .

∵AE=BE ，

∴AE=BE=DE .

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°.

∴∠2+∠3=90°.

即∠ADB=90°.

∴四边形AGBD是矩形 3[解析](1)BM=FN.

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF.

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN . ∴ BM=FN.

(2) BM=FN仍然成立.

(3) 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF.

∴∠MBO=∠NFO=135°.

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN .∴ BM=FN.

第四篇：中考数学压轴题四个解题技巧

各类题型的中考数学压轴题在近几年的中考中慢慢涌现出来，比如设计新颖、富有创意的，还有以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的。中考数学压轴题，解题需找好四大切入点。

切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。【查看：历年中考数学试题】

切入点二：构造定理所需的图形或基本图形

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论

在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。

切入点四：在题目中寻找多解的信息

图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。

总之，中考数学压轴题的切入点有很多，考试时并不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。

第五篇：2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题

外国语中学中考数学压轴题专集

1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标;

(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

(1)当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长;

(2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值;

1(3)若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

3B C P B C P B C

图

1图2(备用) 图3(备用)

3.已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°.现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围;

(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标;

(3)如图②，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°)，使得M，N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化?若没变化，请求出其周长;若发生变化，请说明理由.

P

5.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a

1、b

1、c1.

(1)若c=a1，求证：a=kc;

(2)若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a

1、b

1、c1都是正整数，并加以说明;

(3)若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k=2?请说明理由.

A

c

1C B1C11

6.如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，在△ABC上画一条直线，若这条直线既平..分△ABC的面积，又平分△ABC的周长，我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.

(1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”;

(2)在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”?若能，说出确定的方法;若不能，请说明理由;

(3)如图2，若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法.

C图2 图1

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s).

(1)若点P以3cm/s的速度运动

4①当PQ∥AB时，求t的值;

②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由.

(2)若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB

相切?若能，请求出运动时间t;若不能，请说明理由.

A

备用B

8.如图

1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.

(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4.

求证：AE +BF =EF ;

(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立，请给出证明;若不成立，请

说明理由;

D A B A D

图2 图3 图

1A D B A F

图4 图

5(3)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能，指出三角形的形状，并给出证明;若不能，请说明理由. D ;

F

C

9.(河南省) 222222B B

(1)操作发现·

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗?说明理由.

(2)问题解决 保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求

(3)类比探究

保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF，求

AD的值. ABAD的值; AB