导数与不等式证明

第一篇：导数与不等式证明

导数压轴题 导数与数列不等式的证明

导数与数列不等式的证明

例1.已知函数f(x)alnxax3aR (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:112131nln(n1)(nN*) (3)证明:ln22ln33ln44ln55lnnn1nn2,nN* n(4)证明:ln2ln3ln4ln5lnn1n122324252n22nn2,nN* (5)证明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n1)224344454n44nn2,nN* ln22ln32(6)求证:lnn2n12n12232...n22n1n2,nN (7)求证:122114211182...1122nenN

例2.已知函数f(x)lnxx1｡ (1)求f(x)的最大值; nnn(2)证明不等式:12nennne1nN*

例3.已知函数fxx2lnx1

(1)当x0时,求证:fxx3;

(2)当nN时,求证:nf1111151 k1k2333...n342nn1

例4.设函数f(x)x2mln(x1)m0

(1)若m12,求f(x)的单调区间; (2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m的取值范围; (3)求证:对任意的nN*,不等式lnn1nn1n3恒成立｡

例5.已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1(kR), (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围; (3)证明:ln23ln34lnnn1n(n1)4nN,n1.

导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 1 / 2 例6.已知函数f(x)axbc(a0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为yx1｡ x(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)lnx在[1,)上恒成立,求a的取值范围; (3)证明:1

例7.已知函数f(x)2alnxx21｡

(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间及f(x)的最大值; (2)令g(x)f(x)x,若g(x)在定义域上是单调函数,求a的取值范围; 111nln(n1)(n1). 23n2(n1)3n2n222222(3)对于任意的n2,nN,试比较与的ln2ln3ln4ln5lnnn(n1)*大小并证明你的结论｡

1ln(x1)(x0) x(1)函数f(x)在区间(0,)上是增函数还是减函数?证明你的结论｡

k(2)当x0时,f(x)恒成立,求整数k的最大值; x1(3)试证明:(112)(123)(134)(1n(n1))e2n3(nN*). 例8.已知函数f(x)

例9.已知函数fxxalnxa0 (1)若a1,求fx的单调区间及fx的最小值; (2)若a0,求fx的单调区间; ln22ln32lnn2n12n1(3)试比较22...2与n2,nN的大小,并证明｡ 23n2n1

例10.已知函数fxlnx,gxxaaR, x(1)若x1时,fxgx恒成立,求实数a的取值范围｡ (2)求证:

例11.已知函数fxlnxxax

2ln2ln3lnn1n2,nN 34n1n(1)若函数fx在其定义域上为增函数,求a的取值范围; (2)设an1

例12.设各项为正的数列an满足a11,an1lnanan2,nN.求证:an2n1. 122Lanlnn12n nN,求证:3a1a2...ana12a2n导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 2 / 2

第二篇：构造函数，利用导数证明不等式

湖北省天门中学薛德斌2010年10月

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a).

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0.

求证：(1)f(0)f(2)2f(1);(2)f(2)2f(1).

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n).

nm

例

4、(2010年辽宁卷文科)已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、(2010年全国Ⅱ卷理科)设函数fxxaIn1x有两个极值点x

1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.

4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x; 1x

11112ncln(2)设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

7、(1)已知x0，求证：

第三篇：构造函数法证明导数不等式的八种方法

导数专题：构造函数法证明不等式的八种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

1、移项法构造函数 【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x x

12、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)

3、换元法构造函数证明

【例3】(2007年，山东卷)证明：对任意的正整数n，不等式ln(

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b)

5、主元法构造函数

1223xlnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x23的图象的下方;

1111)23 都成立. nnn1x)x,g(x)xlnx 例.(全国)已知函数f(x)ln((1) 求函数f(x)的最大值;

第 1 页 共 2 页 (2) 设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(

6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例.已知函数f(x)aexab)(ba)ln2. 212x 2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x

7.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 例：证明当x0时,(1x)

8.构造形似函数

例：证明当bae,证明abba

【思维挑战】

1、(2007年，安徽卷) 设a0,f(x)x1lnx2alnx

22求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1， 11xe1x2

2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数

f(x)

52122x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且ba3alna， 求证：f(x)g(x)

22xb，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1. 1xa

3、已知函数f(x)ln(1x)

4、(2007年，陕西卷)f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有

(

)

(A)af (b)≤bf (a) (C)af (a)≤f (b)

(B)bf (a)≤af (b) (D)bf (b)≤f (a)

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第四篇：高二文科半期考试(导数、复数、推理与证明)

文宫中学高二半期测试题(文)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1、设f(x)是可导函数，且

D.一切偶数都能被2整除，2100是偶数，所以2100能被2整除.7.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面

砖()块.

lim

f(x02x)f(x0)

2,则f(x0)()

A.21B.22C.20x0

x

A.

1

2B.-1C.0D.-2

2、f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是()

(A)(B)(C)(D)

3、已知y

1

3x3bx2(b2)x3是R上的单调增函数，则b的取值范围是() A.b1，或b2B. b1，或b

2C.1b2D. 1b2

4、函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10, 则点(a,b)为()

A.(3,3)B.(4,11)C.(3,3)或(4,11)D.不存在

5、函数y2x33x212x5在[0，3]上的最大值和最小值分别是()

A.5，15B.5，4C.5，15D.5，16

6.下面几种推理是类比推理的是()

A.两直线平行，同旁内角互补，若A、B是两平线的同旁内角，则AB180; B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质;

C.某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以

推测各班都超过50位团员.D.2

38.若f(ab)f(a)f(b)且f(1)2，则

f(2))f(1)



f(4)f(3)



f(6f(5)

()

A.

12

5B.

375

C.6 D.8

9.在复平面内，复数

2i1i

对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.若复数Z满足方程Z220，则Z3的值为()

A

.2B

.

2.2D

.2

二、填空题(每小题5分，共25分)

11.点P是曲线yx2lnx上任意一点, 则点P到直线yx2的距离最小值是 12.已知

m1i

1ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则mni

13.在复平面内，若复数z满足|z1||zi|，则z所对应的点的集合构成的图形是 14.在数列an

n中，a11,

an1

2a*

a

2nN

,猜想这个数列的通项公式是

n15.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 23 456 78910 .......

按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.

三、解答题(6大题，共75分)

16.(求解以下两个小题，共12分)

(1)已知n≥

0





(2)已知xR，ax21，b2x2。求证a，b中至少有一个不少于0。

17.(本题12分)已知复数z满足|z|

2，z

2的虚部为2，

(1)求z;

(2)设z，z2

，zz2

在复平面对应的点分别为A，B，C，求ΔABC的面积.18.(本题12分)设z

11是虚数，z2z1z是实数，且1≤z2≤1

(1)求|Z1|的值以及z1的实部的取值范围;

(2)若1z11z，求证：为纯虚数.

19、(12分)已知直线l1为曲线yx2x2在点(0,2)处的切线，l2为该曲线的另一条

切线，且l1ll2的方程;(Ⅱ)求由直线l1l2和x轴所围成的三角形的面积

20.(本题12分)已知f(x)ax3bx22xc，在x2时有极大值6，在x1时

有极小值，

求a,b,c的值;并求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.

21.(本题15分)设函数f(x)x36x5,xR

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围.

(3)已知当x(1,)时，f(x)≥k(x1)恒成立，求实数k的取值范围.

第五篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明student

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1(i是虚数单位)的是()

A.n=

22、(2009全国)已知

B.n=

3C.n=

4D.n=

5n

z

=2+i，则复数z=()1+i

B.1-3iC.3+iD.3-i

17i

3、(2009安徽)i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是()

2iA.-1

5B.-

3C.3

D.15

A.-1+3i

4、设i为虚数单位，则复数z

A.第一象限率为()

2i

所对应的点位于 1i

C.第三象限

()

D.第四象限

B.第二象限

5、(2009湖北)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)·(n-mi)为实数的概A.1/3B.1/

432i32i

6、(2009宁夏)复数()

23i23i

A.0

C.1/6D.1/1

2B.2C.-2i

7、(2009天津)已知z是纯虚数,z2是实数,那么z等于()

1-i

A.2iB.iC.-i

8、(2009重庆)已知复数z的实部为1，虚部为2，则

A.2iA.

12D.

2D.-2i

B.2iB.2

5i

=() z

C.2i

C.1或2

D.2i D.-1 D.(1

9、(2008福建)若复数(a-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为()

10、(2008广东)已知0a2，复数

z的实部为a，则z

) A.(1，5)

【典例剖析】

B.(1，3)

C.(

1〖例1〗用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器底面的一边比另一边长回

0.5m，则高为多少时容积最大?并求出它的最大容积。

〖例2〗若zC且|z|1，则|z22i|的最小值是()

A.221

B.22+1

C.2-1



D.2

2〖例3〗设复数z满足z1，且(34i)z是纯虚数，求z。

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高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

(1i)2(34i)

2〖例4〗已知复数z满足: z13iz,求的值。 2z

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x(xR)，其中m0。

3(Ⅰ)函数f(x)在区间(-1，1)上不单调，求m的取值范围;(Ⅱ)求函数的单调区间与极值。

【能力培养】

1、(2008浙江)已知a是实数，A.

12、(2008辽宁)复数11的虚部是() 2i12i

A.iai是纯虚数，则a=() 1iB.-1C.2D.-2

15B.15C.i 1

5D.1

53、(2008宁夏)已知复数z1i，则z

2() z

1A. 2B.-2C.2iD.-2i

4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的第n项可能是()

A.10nB.10n

1nC.10n1D.11 n

5、设数列{an}的前n项和为Sn，令TnS1S2Sn，称T为数列a，a，„„，a的“理想数”， n12n

已知数列a1，a2，„„，a500的“理想数”为2004，那么数列2， a1，a2，„„，a500的“理想数”为()

A.2008B.2004C.2002D.2000 1,x0(ab)(ab)f(ab)(ab)的值为()

6、设f(x)，则21,x0

A.aB.bC.a, b中较小的数D.a, b中较大的数

*

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2,,nN)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

*结论，对于等比数列{bn}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN)，则可以得到bn1a3i8.若为实数，则实数a29i

9.如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f5

310.若直线ya与函数f(x)x3x的图象有三个不同的交点，则a宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习