数列求和习题精选精讲

第一篇：数列求和习题精选精讲

数列求和问题

数列求和问题·教案

教学目标

1.初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法.

2.通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想.

教学重点与难点

重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和. 难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的. 教学过程设计

(一)复习引入

在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?

二、复习预习

通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容

三、知识讲解 考点

1、公式法

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.

1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1

2、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1qn1

13、Snkn(n1)

4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n

15、Snk3[n(n1)]2

2k1n

考点

2、分组求和法

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例求和：Sn2351435263532n35n 解：Sn2351435263532n35n

2462n35152535n

4，6，，2n练习：求数列2，14181161，的前n项和Sn. 2n111{2n}，而数列是一个等差数列，数列n1是一个等比

2n12分析：此数列的通项公式是an2n数列，故采用分组求和法求解.

111111解：Sn(2462n)234n1n(n1)n1.

222222小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和. 考点

3、、倒序相加

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法. 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，

2 再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an). 例求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289„„„„. ①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21„„„„..② (反序)

又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得 (反序相加)

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)=89 ∴ S=44.5

2x练习：已知函数fxx 22(1)证明：fxf1x1;

1(2)求f102f108f109f的值. 10解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，

1f1092ff10108f108f102f105f105f1 101令Sf109则Sf102f108f109f 101f 10两式相加得：

2S9

1f1099f9 所以S.

210小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.

3 考点

4、裂相相消法

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

(其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数)的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

1，求它的前n项和Sn

n(n1)例、数列an的通项公式为an解：Sna1a2a3an1an

11111 122334n1nnn1111111111 =1

22334n1nnn11n n1n1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 1针对训练

5、求数列 1111,,,,,的前n项和Sn. 122332nn1练习：求数列112,1231,,1nn1,的前n项和. 解：设annn11n1n(裂项)

1nn1则 Sn12312(裂项求和)

=(21)(32)(n1n)

=n11

作业：基本练习

22

21、等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则a12a2=________________. a3an

2、设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn=_______________________.

3、111. 1447(3n2)(3n1)

4、 1111=__________ ...243546(n1)(n3)

5、 数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an，前n项和Sn 综合练习

1、1222324252629921002=____________;

2、在数列{an}中，an1，.则前n项和Sn;

n(n1)(n2)n2an(n1)(n2)， n

3、已知数列{an}满足：a16，an1(1)求a2，a3; (2)若dn an，求数列{dn}的通项公式;

n(n1)

5 考点5错位相减

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 若anbncn，其中bn是等差数列，cn是公比为q等比数列，令

Snb1c1b2c2bn1cn1bncn

则qSnb1c2b2c3bn1cnbncn1 两式相减并整理即得

例4 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1„„„„„„„„„①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn„„„„„„„„„. ② (设制错位)

①-②得 (1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn (错位相减)

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn 2(1x)小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和.

2462n练习：

1、 求数列,2,3,,n,前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n„„„„„„„„„„„„„①

222212462nSn234n1„„„„„„„„„„„„② (设制错22222位)

1222222n①-②得(1)Sn234nn1(错位相减)

222222212n2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2、已知 ann2n1，求数列{an｝的前n项和Sn. 解：Sn120221(n1)2n2n2n1 ①

2Sn121222(n1)2n1n2n ②

②—①得

Snn2n120212n1n2n2n1

1352n

13、

6、,2,3,,n,;的前n项和为_________ 22226

4、数列{an}中, a11,anan1n1,nN*，则前n项和S2n=;

55、已知数列annn!，则前n项和Sn=;

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和的公式求和.

第二篇：数列求和教案

数列求和

数列求和常见的几种方法： (1) 公式法：①等差(比)数列的前n项和公式;

1n(n1) 21222n2nn(

123......6② 自然数的乘方和公式：123......n(2) 拆项重组：适用于数列

1n)(2 1)an的通项公式anbncn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方;

(3) 错位相减：适用于数列an的通项公式anbncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列;

(4) 裂项相消：适用于数列a的通项公式：aknnn(n1),a1nn(nk)(其中k为常数)型;

(5) 倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的. (6)

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、(拆项重组)求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、(裂项相消)求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

1

例

3、(错位相减)求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、(倒序相加)设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*) 求数列an的前n项和Sn

检测题

1.设f(n)22427210...23n10(nN)，则f(n)等于(

)

2n222n4(81)

B.(8n11)

C.(8n31)

D.(81) 777712.数列{an}的前n项和为Sn，若an，则S5等于(

)

n(n1)511A.1

B.

C.

D.

66303.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S37，且a13， 3a2，a34构成等差数列. A.(1)求数列{an}的通项公式. (2)令banln3n1，n1，2...，，求数列{bn}的前n项和Tn。

4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a

3，aN*n. (Ⅰ)求数列an的通项;

(Ⅱ)设bnna，求数列bn的前n项和Sn n

5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6：求数列112,123,,1nn1,的前n项和.

7：数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN) . (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。

8：

求数列21，41，6114816，，2n2n1，...的前n项和Sn.

.

3

9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n，求S100.

10：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

11：求数列的前n项和：11,1a4,11a27,,an13n2，…

12：求S12223242...(1)n1n2(nN)

13：已知函数fx2x2x2 (1)证明：fxf1x1;

(2)求f1f10210f810f910的值。 .

第三篇：数列求和方法总结

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、 差数列求和公式：Sn(a1an)

n2nan(n1)

12d

na1(q1)

2、等比数列求和公式：San

n1(1q)a

11qanq

1q(q1)

n

3、Sk1n

(n1)

4、S

21nn

k12k(n1)(2n1)

k16

n

4、Snk3[1(n1)]

2k12

例 ：已知log12

3xlog，求xxx3xn的前n项和. 2

3解：由log

13x

log3loglog1

3x32x2

2由等比数列求和公式得Snxx2x3xn

=x(1xn)

1x 1(11

=n)

11

2

=1-1

2n

解析：如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式，可以直接利用公式。

二、错位相减

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·

项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。

bn}的前n

1例：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。

解：若a=0, 则Sn=0

若a=1,

则Sn=1+2+3+…+n=

若a≠0且a≠1

则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan

∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1

∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1

n1aa= nan1

1an(n1)

2n1n1aana ∴Sn=(a1)2(1a)1a

当a=0时，此式也成立。

∴Sn=

n(n1)(a1)2aan1nan1(a1)2(1a)1a

解析：数列是由数列n与an对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的)，但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。

三、倒序相加

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)。

[例5] 求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)

2证明： 设SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

nn110(反序) Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn012n012nn

又由CnCnmnm可得

1n1n…………..…….. ② CnSn(2n1)Cn(2n1)Cn3Cn0

01n1n①+②得2Sn(2n2)(CnCnCnCn)2(n1)2n(反序相加)

∴Sn(n1)2n

解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

四、分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例：Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)

解法：按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组。

当n为奇数时：

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)

=2×n1+(-2n+1)

2=-n

当n为偶数时：

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]

=2×

=n

∴Sn=

n 2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后

重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)如： (1)anf(n1)f(n)(2) sin1tan(n1)tanncosncos(n1)

111(2n)2111(3)an(4)an1() n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n

1(5)an1111[] n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

(6) ann212(n1)n1111nn,则S1 nn1nnn(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)

21111，，，…，，…的前n项和S 132435n(n2)例：求数列

解：∵1111=() n(n2)2nn2

Sn=111111(1)()() 2324nn2

1111(1) 22n1n2

311= 42n22n4=

解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。

六、合并求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例：数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

解：设S2002=a1a2a3a200

2由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60(找特殊性质项) ∴ S2002=a1a2a3a2002(合并求和)

=(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

=a1999a2000a2001a2002

=a6k1a6k2a6k3a6k

4=

5七、拆项求和

先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

例：求数5，55，555，…，的前n项和Sn

解： 因为5n9(101)

所以 Sn=5+55+555+…=5(101)(1021)(10n

91)

=510(10n1)

9101n



=50

8110n5

9n50

81

解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：S1

n=1221

4311

8n2n

可以拆成：S…+n)+(1111

n=(1+2+3+2482n)

第四篇：《数列求和》教学反思

针对数列问题的考试重点及学生的薄弱环节，《数列求和》的系列专题复习课《数列求和1》的教学重点放在了数列求和的前两种重要方法：

1、公式法求和(即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和);

2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和。

从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。

1、 注重“三基”的训练与落实

数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。

2、 例、习题的选配典型，有层次

一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的;另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。

3、 对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清求和的项数上，因而在求和的项数上做了文章，有意设计了求和而非求，并且通过这两道题特别强调了算清项数、如何算清项数等问题，抓住了学生解决这类问题的软肋。

4、 教学过程中充分关注到了学生的反应和状态

在解题教学中比较注意启发引导学生，通过自然习得，从而顺理成章达到水到渠成。从题目的设计到解题思路的分析都考虑到了学生的接受能力，从具体到抽象，通常是把问题摆出来、提一句、点一下，尽量不包办代替，努力引发学生的体验和思考，比较注重知识形成过程的教学。同时注意通过多种途径，多种角度，一题多解解决问题，杜绝直接把结果强加给学生，使学生不知所云。

当然这节课的教学也存在着这样那样的不足，比较典型的有以下两点。

1、对于基本公式的掌握仍需加强落实

部分同学公式的记忆仍成问题，本以为课上可以一带而过，不成想主动举手、信心满满、自以为可以完美表现的同学站起来仍然把等比数列的公式说错了，可想而知其他同学的情况了，恐怕也不容乐观，可见连基本公式的强化记忆都是需要老师不厌其烦加以督促的。

2、由于课堂时间容量的限制，学生们的思维活动展现得还不够充分，问题也没有完全暴露出来。

第五篇：《数列求和》教学设计

一、教学目标：

1、知识与技能

让学生掌握数列求和的几种常用方法，能熟练运用这些方法解决问题。

2、 过程与方法

培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归能力，探究创新能力。

3、 情感,态度,价值观

通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。

二、教学重点：

非等差,等比数列的求和方法的正确选择

三、教学难点：

非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和

四、教学过程：

求数列的前n项和Sn基本方法：

1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=

1、q≠1的讨论; 2.分组求和法：把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列，再求和; 3.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下(首尾)若干项求和.如:

设计意图：

让学生回顾旧知，由此导入新课。

[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第一课时，课标要求和学习内容如下:(多媒体课件展示) 导入新课：

[情境创设] (课件展示): 例1：求数列 112,214,318,,101210,,n1n,2

的前n项和。

[问题生成]：请同学们观察否是等差数列或等比数列?

设问：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公

1 式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征

111111，3，5，7，9，的前项和。2481632n 练习1. 求数列

22n-1 练习2. 求数列1，1+2，1+2+2，···，1+2+2+···+2，···. 的前n项和。

例2：求数列1111，…的前n项和。 ,,,......122334n(n1) [教师过渡]：对于通项形如an裂项相消求和方法

练习3.求和

练习4..求和sn1(其中数列bn为等差数列)求和时，我们采取

bbbn11121231nn1

[特别警示] 利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相同。

五、方法总结：

公式求和：对于等差数列和等比数列a的前n项和可直接用求和公式. 分组求和：利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和. 裂项相消：对于通项型如an1(其中数列bn为等差数列) 的数列,在求和时

bbbn1将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n项和。

六、作业布置：