求曲线的切线方程是导数的重要应用之一, 用导数求切线方程的关键在于求出切点P (x0, y0) 及斜率, 其求法为:设P (x0, y0) 是曲线y=f (x) 上的一点, 则以P的切点的切线方程为:y-y0=f′ (x0) (x-x0) 。若曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) 的切线平行于y轴 (即导数不存在) 时, 由切线定义知, 切线方程为x=x0。
下面例析几种常见的类型及解法。
1 已知切点, 求曲线的切线方程
此类题较为简单, 只须求出曲线的导数f′ (x) , 并代入点斜式方程即可。
例1, 曲线y=x3-3x2+1在点 (1, -1) 处的切线方程为 ( )
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
解:由f′ (x) =3x2-6x则在点 (1, -1) 处斜率k=f′ (1) =-3, 故所求的切线方程为y- (-1) =-3 (x-1) , 即y=-3x+2, 因而选B。
2 已知斜率, 求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点, 再用点斜式方程加以解决。
例2, 与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是 ( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
解:设P (x0, y0) 为切点, 则切点的斜率为y′|x=x0=2x0=2。
∴x0=1
由此得到切点 (1, 1) 。故切线方程为y-1=2 (x-1) , 即2x-y-1=0 ， 故选D 。
评注:此题所给的曲线是抛物线, 故也可利用△法加以解决, 即设切线方程为y=2x+b, 代入y=x2, 得x2-2x-b=0, 又因为△=0, 得b=-1, 故选D。
3 已知过曲线上一点, 求切线方程
过曲线上一点的切线, 该点未必是切点, 故应先设切点, 再求切点, 即用待定切点法.
例3, 求过曲线y=x3-2x上的点 (1, -1) 的切线方程。
解:设想P (x0, y0) 为切点, 则切线的斜率为y′|x=x0=3x02-2。
∴切线方程为y-y0= (3x02-2) (x-x0) 。
y- (x03-2x0) = (3x02-2) (x-x0) 。
又知切线过点 (1, -1) , 把它代入上述方程, 得-1- (x03-2x0) = (3x02-2) (1-x0) 。
解得x0=1, 或x0=-1/2
故所求切线方程为y- (1-2) = (3-2) (x-1) , 或y- (-1/8+1) = (3/4-2) (x+1/2) , 即x-y-2=0, 或5x+4y-1=0。
评注:可以发现直线5x+4y-1=0并不以 (1, -1) 为切点, 实际上是经过了点 (1, -1) 且以 (-1/2, 7/8) 为切点的直线。这说明过曲线上一点的切线, 该点未必是切点, 解决此类问题可用待定切点法。
4 已知过曲线外一点, 求切线方程
此类题可先设切点, 再求切点, 即用待定切点法来求解。
例4 求过点 (2, 0) 且与曲线y=1/x 相切的直线方程。
解:设P (x0, y0) 为切点, 则切线的斜率为
∴切线方程为, 即
又已知切线过点 (2, 0) , 把它代入上述方程, 得 1
解得x0=1, 即x+y-2=0 。
评注:点 (2, 0) 实际上是曲线外的一点, 但在解答过程中却无需判断它的确切位置, 充分反映出待定切点法的高效性。
例5, 已知函数y=x3-3x, 过点A (0, 16) 作曲线y=f (x) 的切线, 求此切线方程。
解:曲线方程为y=x3-3x, 点A (0, 16) 不在曲线上.
设切点为M (x0, y0) , 则点M的坐标满足y0=x03-3x0。
因f′ (x0) =3 (x02-1) , 故切线的方程为
y-y0=3 (x02-1) (x-x0)
点A (0, 16) 在切线上, 则有
16- (x03-3x0) =3 (x02-1) (0-x0) 。
化简得x03=-8, 解得x0=-2。
所以, 切点为M (-2, 2) , 切线方程为9x-y+16=0。
评注:此类题的解题思路是, 先判断点A是否在曲线上, 若点A在曲线上, 化为类型一或类型三;若点A不在曲线上, 应先设出切点并求出切点.
以上几种类型是我们比较常见的利用导数求切线问题, 但导数不存在而切线存在的问题历年高考从未出现, 平常的教辅资料当中也鲜见, 这种问题具有很大的隐蔽性, 需要提高警惕。
例6, 求过 (0, 1) 点与曲线 相切的直线方程。
解:因为点 (0, 1) 不在曲线上, 所以设切点为 (x0, ) 。
有, 解得x0=27/8, 所以切线方程为。 。
很多同学做到这里可能以为做完了, 但实际上在原点处导数不存在, 而切线存在, 所以此题还有一条切线x=0。
评注:对于在某些点导数不存在的函数, 一定要注意考察是否存在斜率不存在的切线。
另外, 某些圆锥曲线虽然不是函数, 但可以转化为函数用类似的办法求得其切线。
例7, 已知直线l是椭圆 经过点P (1, 3/2) 的切线, 求其方程。
解:因为点P (1, 3/2) 是椭圆 上的点且在第一象限
所以可视点P为 (上半椭圆) 函数 图像上的点, 且所求切线以点P为切点。
求导
所以过点P (1, 3/2) 的切线的斜率为k=y′|x=1=-1/2
所以切线方程为x=2y-4=0
评注:用导函数求圆锥曲线的切线往往需要将圆锥曲线看作“上”、“下”两个函数来求解。
摘要：本文主要研究了高中数学中出现的利用导数求函数切线的问题, 主要介绍了已知切点求切线、已知斜率求切线、过曲线上一点求切线、过曲线外一点求切线四种高考中常见的类型。另外还谈到了导数不存在而切线存在的问题, 利用导数求圆锥曲线切线等。
关键词：导数,切线