高等代数向量证明题

第一篇：高等代数向量证明题

代数中的向量证明方法

利用向量知识解题具有很多优越性:思路直观,运算简单,能把“数”与“形”有机地结合起来.学好平面向量,不仅是掌握生活、学习的一种工具,还能提高自己的数形结合能力和创新能力,而且能陶冶情操,享受数学思想方法带来的向量学的美.利用向量解决中学数学题目已经相当普遍,下面举例运用向量方法证明代数中的一些问题. y

一 利用平面向量巧证三角证明题

例1 利用向量证明

cos10cos130cos2500，







130°

x

sin10sin130sin2500.





A

图

1证明:设正三角形ABC的边长为1. 如图1,置于坐标系中则

ABcos10,sin10,BCcos130,sin130,CAcos250,sin250,

ABBCCAcos10cos130cos250,sin10sin130sin250,ABBCCA0,0,

cos10cos130cos250,sin10sin130sin2500,0.cos10cos130cos2500,sin10sin130sin2500.

评析：依本题的证法，我们使x轴的正方向绕A点逆时针旋转到向量AB的最小角为，(而不是本题的特殊角10)可以得到以正三角形为依托的较为一般的两个三角等式：

coscos(120)cos(240)0,





y

sinsin(120)sin(240)0.





G

A

例2用向量的方法还可以解决如下的问题，求值：cos

27cos

47cos

67cos27

87cos

107

cos

127

C

解：因正七边形的外角为系中，则

ABcos0,sin0{1,0},

，设正七边形的边长为1，如图2所示置于坐标

- 1 -

22

BCcos,sin,

7744

CDcos,sin

7766

DEcos,sin

77



, , 

88

EFcos,sin,

771010

FGcos,sin

771212

GAcos,sin

77

图

2

, . 

ABBCCDDEEFFGGA0. 1coscos

2727cos4747cos6767cos8787cos

107

cos

127

0,

coscoscoscos

107

cos

127

1.

评析：此题是应用上面的证明方法来分析求解，在中学数学中可以遇到不少类似的题目，都可以类似来求解.

例3 用向量证明三角公式:

cos()coscossinsin.

证明:如图3,作一个单位圆,取平面上的两个单位向量a、b使它们与x轴上的单位向量

i形成

α、角,即 OA

a,OBb.

abcos()cos(),

又acos,sin,bcos,sin, abcoscossinsin,

cos()coscossinsin.

图

评析:该公式在教材中采用构造法证明,先构造一个单位圆,再在单位圆上构造四点,形成两个全等三角形,利用两点间的距离公式证得.这种方法在构造图形上要求太高,很难与我们学过的知识相联系起来.当我们学过平面向量后,可以简洁地将此公式证明.

同法,我们可以证明:

例4coscos

12

cos()cos().

证明：设三个单位向量：

acos,sin,bcos,sin,ccos,sin, abcoscossinsincos(), accoscossinsincos(). abaccos()cos(). 又abaca(bc)， bc2cos,0, a(bc)2coscos.

综上所述,可得: coscos

12

cos()cos().

二 构造向量证明不等式

利用以下定理，可以用向量证明代数不等式.

定理: a,b为两个非零向量,则

:例5 设a,b,cR+，试证：证明:构造向量:

ab

bc

ca

(ab)1a1b1c



.

a

1bc11a,,,b,,.bcabca

(ab),得

(

ab



bc



ca

)1a



1b



1c

1a



1b



1c

,

即

ab



bc



ca







当且仅当abc时,不等号成立.

用向量证明问题还应该注意一些符号问题，如：

例6

2)

证明：由于a和b方向的不确定性，可按分类讨论的思想进行证明. (1) 若a与b共线且方向相同时，则



2

 



所以2).

(2) 若a与b共线且方向相反，则



2

 



所以2).

(3) 若a与b不共线时，如图4，设OAa,OBb,作平行四边形OACB，可得

OCab,BAab;

在三角形OAB

中，BOA;在三角形OAC

中，OAC. 因为BOAOAC

所以两式相加可得

B

C

2).

O

A

图4

评析：由于平面向量具有“数”和“形”的双重功能，涉及“数”与“形”的许多问题需要分类讨论，所以用分类讨论思想解决平面向量问题是顺理成章的事.通过分类讨论把向量中的问题分门别类转为局部问题，使繁复的向量问题简单化，从而达到解决问题的目的.

同样地，我们可以用构造向量的方法来证明三角不等式： 例7 设，，均为锐角，满足sin2sin2sin21则

sinsin



sinsin



sinsin

1。

证明：构造两个向量：

2sin

a

,

sinsin

sin



sinsin

,



, sinsinsin



b

sin,sinsin,sin.



sinsinsin

24

(ab).即

(

sin



sinsin



sinsinsin

)(sinsinsinsinsinsin)

(sinsin

22

sin)

所以

sinsin



sinsin



sinsin



(sinsin

22

sin)

22

sinsinsinsinsinsin



(sinsinsin)sinsinsin

2222

sinsinsin1

评析：证明此类不等式证明，若能观察到向量的“影子”，通过构造向量，利用向量的数量积运算公式，能使繁复的问题简单化.

例8 若x，y，zR，且xyz1.n为正整数.求证:

x

n

y(1y)



y

n

z(1z)



z

n

x(1x)



33

n2

n

9

.

证明：由已知条件，知1xn0,1yn0,1zn0. 构造向量：

a



x

n

,

y

n

,

y(1y)

z(1z)



,bn

x(1x)z

y(1y),

n

z(1z),

n

x(1x)

n



(xy

(ab).得



y

n

z)

[

x

n

y(1y)z(1z)



z

n

x(1x)

][y(1y)z(1z)x(1x)]

n

n

n

所以

x

n

y(1y)



y

n

z(1z)



z

n

x(1x)



(xyz)

(xyz)(x

n1

2222

y

n1

z

n1

)

[3(



xyz

)]

22

(xyz)3(

xyz

)

n1

122

[3()]n

33

n2.

1n139

13()

若取n1,得

x

y(1y)



y

z(1z)



z

x(1x)



16

.

(《上海中学数学》1993(2)数学问题1) 若取n2，得

x

y(1y)



y

z(1z)



z

x(1x)



18

.

(《数学通报》1994(11)数学问题921)

评析：此题也是巧妙构造向量的例子，题中n的取值不同可以得到不同的不等式方程，对应解决不同的数学问题.

小结：爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决.在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可以作为联系代数和几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点.本文主要从代数问题的角度利用向量方法证明，打破常规，构造向量，利用平面向量的数量积获得妙解.思路直观，运算简单，能把“数”与“形”有机的结合起来.

第二篇：向量代数与空间解析几何（大全）

1.向量代数与空间解析几何

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。 平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程;了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2.多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导;会求全微分; 偏导数的应用：方向导数和梯度;空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线;最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3.多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序;二重积分的计算(直角坐标、极坐标);利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);

曲线积分：两类曲线积分的计算方法;格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法;高斯公式。

4.无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性;正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数;函数展开成幂级数。 傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5.常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式;

2、全微分公式;

3、方向导数公式;

4、拉格朗日乘数法;

5、格林公式、高斯公式;

6、函数的麦克劳林展开公式。

7、一阶线性方程的通解公式;

第三篇：高等代数课程建设规划

高等代数是高等院校数学专业最重要的基础课程之一，以高等代数为基础(或者说作为它的直接延伸)的专业课有近世代数、泛函分析、微分方程、高等几何、数值分析、离散数学、运筹学、线性规划及数学建模等。高等代数的教学进程对计算机、物理、电子等专业的线性代数的教学有着直接、重要的影响。高等代数的内容不仅是学习后继课程不可缺少的基础知识，而且较多地体现着数学中严密的逻辑推理方法和计算方法，高等代数的理论和方法是基础数学和应用数学的重要基础。 我系高等代数课程的教学任务由基础数学教研室承担。现有主讲教师3名，年龄结构、职称结构基本合理，在前辈教师的言传身带下，全体教师形成了爱岗敬业、团结协作的优良传统和治学严谨的作风。建立一支学术水平高、素质优良、团结进取的任课教师队伍是课程建设的根本。但是，由于学生人数多，教师教学负担过重，经费少，资料设备不足等因素严重制约着我们教学科研活动的进一步开展，为了不断提高高等代数课程的教学质量，把高等代数课程建设提高到新的水平，全体教师将积极克服困难，主动地，争取系上、学院的大力支持，采用走出去，请进来、开展教学研究活动等形式，努力的促进教师学业水平、学历层次和教学质量的提高。通过二至三年的课程建设，使担任高等代数课程教学的教师大多数教师具有高级职称。

我们将积极利用系内、学院现有的图书资料和设备、并积极运用申请来的有限经费，积极开发教学课件;建好《高等代数》课程试题库;认真钻研教学内容，精心设计教学方案，合理运用现代化教学手段、创造条件努力提高教学质量。逐步实现理论教学与实践教学并重，积极开展实验教学，引导学生利用高等代数上所学的知识去解决其他学科以及实际中的问题，鼓励学生开展科学研究活动。 多年来，我们在高等代数这门课程的教学中，采用课堂讲授为主，配合进行一些课堂讨论，布置作业、批改评讲，考试测评的传统模式，在此过程中，特别是在近些年课程改革的推动下，各任课教师在教材处理和教学方法等方面做了不少工作，进行了许多改革尝试。我们将以课程建设为动力，继续进行多方面的改革。我们的努力方向是：探索总结行之有效的教学模式并积极推广;在课程教学中，不但培养学生的严格逻辑推理能力，也注重培养学生的直觉能力;在培养学生分析问题、解决问题能力的同时，注重培养学生提出问题的能力;要培养学生科学思维能力，更要注重培养学生创新能力，使学生的综合数学素质不断得到提高。 本课程的建设目标、步骤及五年内课程资源上网时间表 1. 建设目标: 力争在3年内，将本课程建设具有一流教学队伍，一流教学内容，一流教学管理的示范性课程。

重点建设内容为：

⑴建立完善的课程体系，完善的网络教学资源。 ⑵改革教学方式、方法，合理利用现代化教学手段。

⑶逐步更新课程理论教学内容，增添实验教学内容，不断提高教学水平。

2.建设步骤: ⑴加强师资队伍梯队建设，可望3年后增加教授2名，副教授2名，讲师5名，助教3名。⑵补充完善教学素材库。 ⑶完善立体化教材建设。 ⑷更新、补充网上教学内容。 ⑸建设本课程试题库。 ⑹建立网上讨论、答疑系统。

第四篇：2014福州大学高等代数考研资料免费下载

历年考研真题试卷

福州大学2007年招收硕士研究生入学考试试卷

考试科目高等代数科目编号818

注意：作图题答案可直接做在试卷上。所有的作图题均应保留精确的作图线条。试卷必须与答卷一起交。答题时不必抄原题，但必须写清所答题目顺序号。

一、简答题(每小题3分，满分30分)

1、计算行列式，其中，但(思远福大考研网)。

2、在线性空间中，求向量组的一个极大线性无关组。

3、已知3阶矩阵满足，求的所有特征值，这里表示单位矩阵。

4、在线性空间中，已知向量共面，求。

5、设是线性空间中的线性变换，满足

求在基下的矩阵(思远福大考研网)。

6、设，若被整除，求。

7、设矩阵，其中线性无关，，向量，求方程组的通解;

8、设，，它们相似吗?

9、求矩阵的最小多项式和若当标准型。

10、讨论二次型何时正定(思远福大考研网)。

二、解答题(第11-18题，每题15分满分120分)

11、(1)设是正定实对称矩阵，则对任一正整数，存在正定实对称矩阵，使;

(2)设是满秩实矩阵，则存在正定实对称矩阵和正交矩阵，使。

12、设是数域，(表示元素在的矩阵全体)，，且，对于的子空间，,，证明：。

13、设为有理数域，是上的线性空间，是的线性变换，设，且，，，证明：(1)线性无关;

(2)线性无关(思远福大考研网)。

14、设是数域上矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，定义变换，。(1)证明是上的的对合线性变换，即满足(恒等变换)的线性变换;(2)求的特征值和特征向量;

15、求多项式在有理数域上的分解式。

16、设，求一个正交矩阵，使成对角矩阵。

17、设向量分别属于方阵的不同特征值的特征向量(思远福大考研网)，证明向量组线性无关。

18、设是有限维欧式空间的一个正交变换，且其中是一个正整数且，是的恒等变换，令，证明：

(1)是的一个子空间;(2)是的一个不变子空间，其中是的正交补;

第五篇：代数填空题训练(1)

11.计算：=__________.

12.计算：=

__________.

13.一个袋子里面有10个球，6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出一球，不是红球的概率是___________.

16.

如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是____________.

11.计算：___________.

12.计算：.

13.在一个不透明的纸箱内放着除颜色外无其他差别的3个红球，2个黄球，一次从中随机摸出两个球均为黄球的概率是__________

16.已知抛物线y1=(x-x1)(x-x2)交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且点A在点B的左边，直线y2=2x+t经过点A.若函数y=y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为___________

.

11.计算：=_______.

12.计算：.

13.用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为__________.

16.

已知抛物线C1：y=x2-2x-8及抛物线C2：y=x2-(4a+3)x+4a2+6a

(a为常数)，当-2

.

11.

的算数平方根为

.

12.计算：.

13.

袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，则一次摸出白球的概率为

.

16.已知二次函数

(m为常数)，在-3≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥2，则m的取值范围是__________.

例1、(2010•武汉)如图，直线y1=kx+b过点A(0，2)，且与直线y2=mx交于点P(1，m)，则不等式组mx>kx+b>mx﹣2的解集是　　　　　　.

练习：1)方程

的正根的个数为(

)

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

例2、(2016武汉元调)我们把a、b、c三个数的中位数记作Z

|a，b，c|，直线y=kx+(k>0)与函数y=Z

|x2-1，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为__________.

练习.1)若曲线y=|x2-2|与直线y=2x+k恰有三个公共点，则k的值为

.

2).若直线(为常数)与函数的图像恒有三个不同的公共点，则常数的取值范围是

.

练习：

1.已知抛物线C1：y=x2-2x-8及抛物线C2：y=x2-(4a+3)x+4a2+6a

(a为常数)，当-2

.

2.矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H.若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为

.

3.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m)

，其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧).若0

.

4.二次函数，m≤x≤n，且mn<0，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n=　　　　　.