不等式证明题型多、难度大、证法妙已被师生认同。我们应提倡通过天姿百态的题目以及各俱特色的解题方法来培养学生的思维水平和应变能力, 事实表明, 学生面对不等式证明问题时往往无助, 老师的讲授常常徒劳。笔者在教学中为了揭示证明不等式较深层次的问题进行了一些尝试。
问题1 (人教版高中数学第二册习题6.3第9题) :
已知∆ABC的三边长是a、b、c, 且m>0, 求证:
分析:根据题的结构特征, 构造函数, 可用函数单调性的定义或使用导数均可证明f (x) , 是 (0, +∞) 的增函数, 在∆ABC中, 由a+b>c>0, 得f (a+b) >f (c) , 即
又故原不等式得证。
证明: (略)
问题2 (人教版高中数学第二册习题6.5第4题)
分析:根据题的结构特征, 构造函数同问题1可用函数单调性的定义或使用导数均可证明f (x) , 是 (0, +∞) 的增函数, 又整理即证。
启示:教材中出现的以上两个问题均以不等式形式反映量与量之间的关系, 我们不难发现它们是以函数知识为背景设置的两个静态的问题, 通过构造恰当的函数, 转化为函数问题是一种值得研究的方法。在学生学习过程中, 若有意识引导他们用函数方法解决较难的不等式证明问题, 其意义是深远的。
问题3:已知正数a, b满足a+b=1, 求证:
原不等式得证。
问题4: (2004年全国卷Ⅱ第22题) 已知函数f (x) =ln (1+x) -x, g (x) =xlnx。
(1) 求函数f (x) 的最大值;
(2) 设0
(1) 解:函数f (x) 的定义域为 (-1, +∞)
当-1
由 (1) 结论知
当内为减函数。
当上为增函数。
从而, 当s=a时, F (x) 有极小值F (a) 。
当x>0时C′<(x)<0。因此G(x)在(0，+∞)上为减函数。
因为所以
即原不等式得证。
不等式中描述着量与量之间的静态关系, 函数中描述着量与量之间的动态关系, “将静止的问题放到一个更加波澜壮阔的动态过程中考察, 将局部的问题置于更加高瞻远瞩的全局上去解决, 反映了一种解题策略和变换机智” (罗增儒语) 。较难的不等式问题, 直接入手, 往往难度大、技巧性强、对能力的要求高, 若能转换为函数去解决, 不仅淡化了技巧、降低了难度, 更是理性思维的一种突出体现。关注高考, 反思教学, 引领我们去做进一步的探索和研究。
摘要：较难的不等式问题, 直接入手, 往往难度大、技巧性强、对能力的要求高, 若能转换为函数问题, 运用函数方法去解决, 不仅淡化了技巧、降低了难度, 更是理性思维的一种突出体现。
关键词：问题,证明,转化,揭示,关注,反思