论文题目：裂缝模型的有限体积方法：分析与应用
摘要：近年来,带裂缝的多孔介质中的渗流问题被广泛地应用在工程领域,例如油藏数值模拟、核废料处理、地下水污染等,已发展成为一个很重要的研究课题。相对于周围基质而言,裂缝可能具有较大的渗透率,也有可能由于结晶等因素而导致渗透率非常小,并且裂缝中的渗透率会在很小的区域内发生很大的变化,以及裂缝与周围基质存在着相互作用,所以裂缝模型比较复杂。文章主要研究两类裂缝模型:间断渗透率裂缝模型和耦合裂缝模型。其中间断渗透率裂缝模型就是渗透率张量在裂缝和周围基质中是不连续的。在通常情况下,裂缝的宽度相对于整个计算区域的尺寸而言是非常小,所以使用普通剖分下的标准有限元或有限体积方法结果不够理想,本文我们利用Mortar有限体积方法求解间断渗透率裂缝模型,在裂缝和周围基质中采用完全独立的、不同的剖分,而在两个相邻区域的交界面上网格是不匹配的,所以我们引进Mortar条件代替了原问题中的连续性条件。针对裂缝具有较小宽度的问题,另一种解决办法是提出新的裂缝模型——耦合裂缝模型。耦合裂缝模型是在间断渗透率裂缝模型的基础上,沿着裂缝较小尺寸的维度作平均,将裂缝看成n维区域内的（n-1）维交界面,忽略了裂缝的宽度,而这一模型没有改变裂缝的性质并且裂缝与周围基质的相互作用也体现在模型中。本文我们将基于三角剖分的有限体积方法应用于耦合裂缝模型,有限体积方法作为一种常用的数值离散技术具有很多优势,如计算区域灵活,适用于求解复杂区域;剖分单元灵活,三角形单元、四边形单元、结构化或非结构化网格都适用;数值格式简便,这是由于检验函数选取为分片常数;具有局部守恒性。正是由于这些好的性质,有限体积方法在工程计算中的应用得到人们的重视。本文我们考虑了耦合裂缝模型的经典有限体积方法——协调元和非协调元有限体积方法,即分别利用协调和非协调的分片线性函数近似方程真解,以及间断有限体积方法,试探函数选取为不连续的分片线性元,而所有方法中的检验函数都是分片常数。由于有限体积方法中选取不同的试探函数和检验函数,所以需要构造两类剖分,对应试探函数的原剖分和对应检验函数的对偶剖分,从而保证两者具有相同的维数,也是由于试探函数与检验函数空间的不一致性,增加了有限体积方法理论分析的难度。在本文中,我们对每一种有限体积方法都详细介绍了对偶剖分和控制体积的形成方式,分析数值格式的解的存在唯一性,并通过误差分析得到数值解与微分方程真解之间的收敛阶,最后利用数值算例验证有限体积方法的正确性和有效性。第一章首先简要介绍有限体积方法的发展历史以及研究成果;其次浅谈裂缝问题的研究背景和数学模型;最后我们给出文章的主体框架。第二章的内容主要来自于S.Chen,H.Rui,A Mortar Finite Volume Method for a Fractured Model in Porous Media,J.Math.Anal.Appl.448（2017）707-721.本章主要研究间断渗透率裂缝模型,裂缝Ωf和周围基质Ωi,i = 1,2中的渗透率张量是不连续的,在每个子区域上速度和压力满足Darcy定律和质量守恒,并且压力和速度的法向分量在裂缝和基质的交界面Γif上是连续的。定义Γi是区域Ωi的外边界,则考虑Dirichlet边界条件的模型具体表示如下:divui = qi in Ωi,i = 1,2,f,ui =-Ki（?）pi in Ωi,i = 1,2,f,Pi = Pi on Γi,= 1,2,f,Pi = Pf on Γif,i= 1,2,Ui · n = uf·n on Γif,i = 1,2.我们提出该裂缝模型的三角剖分下基于两点压力近似流量的Mortar有限体积方法。在每个三角单元上,压力利用分片常数近似,而剖分的每一条内部边上的流量利用两个相邻剖分单元的压力差表示,这就是两点近似流量有限体积方法（TPFA）的基本思想。Mortar有限元方法作为一种耦合技术,允许我们在不同区域使用不同网格甚至是不同离散格式求解定义在不同区域内的不同数学问题,并引进所谓的Mortar条件来代替原问题中的连续性条件。本章中我们将两点近似流量有限体积方法和Mortar方法结合起来,求解具有间断渗透率系数的裂缝模型。裂缝和周围区域内采用完全不同的、独立的三角剖分,在宽度较小的裂缝中采用较细的网格剖分,而周围基质利用较粗网格。由于两个相邻区域的交界面上网格是不匹配的,于是引进Mortar条件来保证原裂缝模型的压力和速度的法向分量的连续性。两点近似流量有限体积方法中原剖分和对偶剖分是一样的,原剖分的每个三角单元作为一个控制体积。方法的基本思想是在每个控制体积上对原问题的质量守恒方程求积分,并将积分转换成三角单元边界上的流量,而每条边上的流量利用定义在边两侧的两个三角单元上的压力差表示,从而我们形成了仅仅关于压力p的数值格式,这就避免了求解混合元方法中的鞍点问题。该方法的具体求解步骤是:首先从数值格式中求得压力;然后表示出剖分边上的流量;最后我们已知最低阶的Raviart-Thomas空间（RT0）的函数在每个剖分单元中都由单元边界上的流量所唯一确定的,所以我们就可以在RT0空间中求得速度u。文中我们对提出的两点近似流量的Mortar有限体积方法进行误差分析,证明了压力p的离散H1半模和L2模,以及速度u的（L2）2模都具有一阶精度,并通过数值实验验证了算法的正确性和收敛阶。这样,对于两点近似流量Mortar有限体积方法,我们在理论分析和数值算例两个方面得到了与混合元方法类似的结论,但是有限体积方法的数值格式仅与压力有关,与速度无关,避免了鞍点问题,并且我们利用Mortar技巧在不同区域采用不同剖分,提高了算法的灵活性和精确性。第三章的内容主要来源于S.Chen,H.Rui,A Node-Centered Finite Volume Method for A Fracture Model on Triangulations,Appl.Math.Comput.327（2018）55-69.S.Chen.H.Rui,The finite volume method based on the Crouzeix-Raviart element for a fracture model,Submitted.第三章研究二维区域上的耦合裂缝模型,裂缝γ将总区域ΩΩ分为两个子区域Ωi,i = 1,2,而裂缝被看作是两个二维子区域的一维交界面。裂缝和每个子区域中的流体都满足Darcy定律和质量守恒,并且裂缝与周围基质中的流体存在着相互交换。Dirichlet边界条件的耦合裂缝模型具体形式如下:ui =-Ki（?）pi in Ωi,i=1,2,div ui = gi in Ωi,i = 1,2,uf=-kf,yd（?）pf/（?）y in γ,（?）uf/（?）y= 9f +（u1·n1|γ+u2 · n2|γ）in γ,一ζu2·ni+αfpi= αfpf-（1-ζ）ui+1 · ni+1 in γ,Pi = Pi on Γi,i=1,2,pf = pf on（?）γ.我们将三角剖分下的经典有限体积方法应用于耦合裂缝模型:协调元有限体积方法和非协调元有限体积方法,两种方法都形成只关于压力的数值格式,与速度无关。协调元有限体积方法中,裂缝和周围基质中的压力都是用连续的分片线性元（P1元）近似,而对于非协调元有限体积方法,周围基质和裂缝中的压力分别利用Crouzeix-Raviart元（CR元）和分片常数近似,检验函数都选取为分片常数,从而有限体积格式简单,求解方便。两种有限体积方法的原剖分都是三角剖分,并且两子区域上的剖分网格在交界面γ上是一致的,从而形成了裂缝上的唯一剖分。而由于试探函数空间选取的不同,我们需要构造不同的对偶剖分和控制体积。协调元有限体积方法的试探函数是连续的分片线性元,自由度定义在原剖分的剖分节点上,所以对偶剖分的形成方式是连接两个相邻三角单元的外心,在每个剖分节点周围形成一个控制体积;非协调元有限体积方法的试探函数是CR元,自由度定义在每条剖分边的中点上,于是连接三角形内部一点和三个顶点,将原剖分的每个三角单元分成三个小三角形,共用一条边的两个小三角形看作是一个控制体积。方法的基本思想仍是在守恒方程两端乘以检验函数后在控制体积上求积分,然后将控制体上的积分转换到边界上,近似边界积分得到只关于压力的有限体积数值格式,求得压力后再在每个剖分单元中,利用Darcy定律求速度。对于耦合裂缝模型的两种经典有限体积方法,我们分析了数值格式的解的存在唯一性,证明了压力p的H1半模和L2模误差以及速度u的（L2）2模误差都具有O（h）阶精度,而且对于协调元有限体积方法,如果三角剖分是本质对称的,则压力的H1半模和L2模误差精度可以提高到O（h3/2）.此外,我们编程实现了两种数值格式,利用数值算例验证了经典有限体积方法适用于耦合裂缝模型的有效性及其收敛阶。有限体积方法具有保持局部质量守恒的性质。我们在数值算例上比较了协调元有限体积方法和相应的有限元方法,通过数值结果我们可以清晰地看到对于复杂的裂缝模型,我们提出的有限体积格式具有较好的局部质量守恒的性质。第四章的内容主要来自于S.Chen,H.Rui,The Discontinuous Finite Volume Method for a Fracture Model,Submitted.第四章利用基于三角剖分的间断有限体积方法求解耦合裂缝模型,形成只关于压力的数值格式,其中用不连续分片线性函数和连续分片线性函数逼近周围基质和裂缝中的压力,检验函数仍选用分片常数。该方法是受到间断Garlerkin方法（DG）的启发,将数值解在剖分内部边界上的连续性去掉,而通过增加惩罚项来保证解在剖分单元之间的联系。从而,这类不连续有限体积方法集合了经典有限体积方法和间断Garlerkin方法的优点,例如间断Garlerkin方法的高阶精度、灵活性和经典有限体积方法的局部守恒性、便捷性。对于第三章中讨论的经典有限体积方法,协调元有限体积方法的对偶剖分是连接相邻三角单元的外心,所以控制体积与原剖分的剖分节点相对应,是节点周围的小区域,而非协调有限体积方法的对偶剖分是连接三角单元内部一点和三个顶点,所以控制体积与原剖分的剖分边相对应,由共用一条边的两个小三角单元构成。但是位于两区域交界面上的点或者边,无法像剖分内部的点或边一样形成完整的控制体积,正是因为这个原因,在裂缝模型的经典有限体积方法的理论分析中压力L2模误差的最优收敛阶的理论证明存在很大的难度。间断有限体积方法中对偶剖分的形成方式如下:对给定的任意三角剖分,连接每个三角单元的重心和三个顶点,这样就把原剖分的每个三角单元分成了三个小三角形,而对偶剖分就是包含所有这些小三角形,每一个小三角形被看作是一个控制体积。从而,与经典有限体积方法相比,间断有限体积方法具有最好的局部化性质,因为每一个控制体积仅仅与原剖分的一个三角单元有关。对于交界面上的剖分边,我们也可以在交界面的两侧分别形成各自完整的控制体积。间断有限体积方法的思想与经典有限体积方法相同,利用数值格式求得压力,然后根据Darcy定律在每个剖分单元上表示出速度。我们对提出的耦合裂缝模型的间断有限体积格式进行了理论分析,证明了解的存在唯一性,并且误差分析得到压力p的离散H1半模和L2模都具有最优阶的收敛性。最后,我们通过三个带有真解的数值算例验证了间断有限体积方法应用于裂缝模型时的有效性,数值结果显示压力p的离散H1半模的误差精度为O（h）,而L2模误差精度为O（h2）,与理论分析的结果是一致的。
关键词：裂缝模型;协调元有限体积方法;非协调元有限体积方法;间断有限体积方法;两点近似流量有限体积方法;Mortar方法;误差分析;数值算例
学科专业：计算数学
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符号说明
第一章 绪论
§1.1 有限体积方法简介
§1.2 裂缝问题的研究背景
§1.3 数学模型
§1.4 本文的主要研究内容
第二章 间断渗透率裂缝模型的Mortar有限体积方法
§2.1 引言
§2.2 问题描述
§2.3 两点近似流量Mortar有限体积方法
§2.4 误差分析
§2.5 数值算例
§2.6 本章小结
第三章 耦合裂缝模型的经典有限体积方法
§3.1 引言
§3.2 协调元有限体积方法
§3.2.1 协调元有限体积方法的数值格式
§3.2.2 协调元有限体积方法的误差分析
§3.2.3 协调元有限体积方法的数值算例
§3.2.4 协调元有限体积方法的结论
§3.3 非协调元有限体积方法
§3.3.1 非协调元有限体积方法的数值格式
§3.3.2 非协调元有限体积方法的误差分析
§3.3.3 非协调元有限体积方法的数值算例
§3.3.4 非协调元有限体积方法的结论
第四章 耦合裂缝模型的间断有限体积方法
§4.1 前言
§4.2 间断有限体积方法
§4.3 误差分析
§4.4 数值算例
§4.5 本章小结
第五章 总结
参考文献
致谢