空间向量证明方法

第一篇：空间向量证明方法

用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C )

A.若a∥n，则a∥αB.若a·n=0，则a⊥α

C.若a∥n，则a⊥αD.若a·n=0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n=0.

2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β;②若n1∥n2，则α⊥β;

③若n1·n2=0，则α⊥β;④若n1·n2=0，则α∥β.

其中正确的是( A )

A.①③B.①④

C.②③D.②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，-2,1)，B(4，-5,3)，则与向量AB

标是( C )

1A.(3，1,1)B. (-1，-3,2)

13C.(-2，2，-1)D.(2，-3，- 2)

→=(1，-3,2)=-2(-131)， 解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(-2，2，-1)，故选C.

4.设l1的方向向量为a=(1,2，-2)，l2的方向向量为b=(-2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2 .

5.设平面α的法向量为(1,2，-2)，平面β的法向量为(-2，-4，k)，若α∥β，则k= 4 .

解析：因为α∥β，所以(-2，-4，k)=λ(1,2，- 2)，

所以-2=λ，k=-2λ，所以k=4.

→=(1,5，-2)，BC→=(3,1，z).若AB→⊥BC→，BP→=(x-1，y，-3)， 6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x= 7，y= -7，z= 4 .

→·→=x-1+5y+6=0解析：由已知BPAB

→·→=3x-1+y-3z=0BPBC

4015解得x=7，y=-7z=4. →·→=3+5-2z=0ABBC ，

7.(原创)若a=(2,1，-3)，b=(-1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58 .

解析：因为a·b=(2,1，-3)·(-1,5，3)=0，

所以a⊥b，又|a|=22，|b|29，

所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|=22×29=258.

8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.

证明：如图，连接OP，因为PA=PC，AB=BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，

又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.

则O(0,0,0)，A(0，-8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，-4,3)，F(4, 0,3).由题意，得G(0,4,0).

→=(8,0,0)，OE→=(0，-4,3)， 因为OB

设平面BOE的一个法向量为n=(x，y，z)，

→n·OB=0x=0则，即， →=0-4y+3z=0OEn·

取y=3，则z=4，所以n=(0,3,4).

→=(-4,4，-3)，得n·→=0. 由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.

9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.

(1)求证：PB∥平面EFH;

(2)求证：PD⊥平面AHF

.

证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0).

→=(2,0，-2)，EH→=(1,0，-1)， (1)因为PB

→=2EH→， 所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，

所以PB∥平面EFH.

→=(0,2，-2)，AH→=(1,0,0)，AF→=(0,1,1)， (2)因为PD

→·→=0×0+2×1+(-2)×1=0， 所以PDAF

→·→=0×1+2×0+(-2)×0=0， PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，

又因为AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF.

第二篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

第三篇：空间向量方法解立体几何

【空间向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

数x、y、z的值。 成定比2，N分PD成定比1，求满足的实

分析;结合图形，从向量

用、、出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都表示出来，即可求出x、y、z的值。

。

如图所示，取PC的中点E，连接NE，则

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

(1)证明：PA//平面EDB;

(2)证明：PB⊥平面EFD;

(3)求二面角C—PB—D的大小。

点评：(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.

(2)证明线面平行的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;

②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;

③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.

(3)证明面面平行的方法：

①转化为线线平行、线面平行处理;

②证明这两个平面的法向量是共线向量.

(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.

(5)证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直. 【用空间向量求空间角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分别是

(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值; (2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。

，

的中点，求：

点评：(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角

求得，即

。

(2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或

(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】

例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：

(1)异面直线AM与PQ所成角的余弦值; (2)M到直线PQ的距离; (3)M到平面AB1P的距离。

，M是A1C1的中点，P在线

本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。

(1)平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。

(

2)线面角的求法：设n是平面

向量，则直线与平面

的一个法向量，AB是平面

的斜线l的一个方向

所成角为则sin

(3)二面角的求法：①AB，CD分别是二面角面直线，则二面角的大小为

。

的两个面内与棱l垂直的异

②设分别是二面角的两个平面

的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角。

(4)异面直线间距离的求法：向量，又C、D分别是

是两条异面直线，n是

。

的公垂线段AB的方向

上的任意两点，则

(5)点面距离的求法：设n是平面平面

的距离为

。

的法向量，AB是平面

的一条斜线，则点B到

(6)线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。

练习：

12

1.若等边ABC的边长

为，平面内一点M满足CMCBCA，则

63

MAMB_________

2.在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。 3.(本小题满分12分)

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小; (II)证明平面AMD平面CDE; (III)求二面角A-CD-E的余弦值。

4.(本题满分15分)如图，平面PAC平面ABC，ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，

PB，AC的中点，AC16，PAPC10.

(I)设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE;

(II)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的

距离.

5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上. (Ⅰ)求证：平面AEC平面PDB;

(Ⅱ)当PD且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

第四篇：代数中的向量证明方法

利用向量知识解题具有很多优越性:思路直观,运算简单,能把“数”与“形”有机地结合起来.学好平面向量,不仅是掌握生活、学习的一种工具,还能提高自己的数形结合能力和创新能力,而且能陶冶情操,享受数学思想方法带来的向量学的美.利用向量解决中学数学题目已经相当普遍,下面举例运用向量方法证明代数中的一些问题. y

一 利用平面向量巧证三角证明题

例1 利用向量证明

cos10cos130cos2500，







130°

x

sin10sin130sin2500.





A

图

1证明:设正三角形ABC的边长为1. 如图1,置于坐标系中则

ABcos10,sin10,BCcos130,sin130,CAcos250,sin250,

ABBCCAcos10cos130cos250,sin10sin130sin250,ABBCCA0,0,

cos10cos130cos250,sin10sin130sin2500,0.cos10cos130cos2500,sin10sin130sin2500.

评析：依本题的证法，我们使x轴的正方向绕A点逆时针旋转到向量AB的最小角为，(而不是本题的特殊角10)可以得到以正三角形为依托的较为一般的两个三角等式：

coscos(120)cos(240)0,





y

sinsin(120)sin(240)0.





G

A

例2用向量的方法还可以解决如下的问题，求值：cos

27cos

47cos

67cos27

87cos

107

cos

127

C

解：因正七边形的外角为系中，则

ABcos0,sin0{1,0},

，设正七边形的边长为1，如图2所示置于坐标

- 1 -

22

BCcos,sin,

7744

CDcos,sin

7766

DEcos,sin

77



, , 

88

EFcos,sin,

771010

FGcos,sin

771212

GAcos,sin

77

图

2

, . 

ABBCCDDEEFFGGA0. 1coscos

2727cos4747cos6767cos8787cos

107

cos

127

0,

coscoscoscos

107

cos

127

1.

评析：此题是应用上面的证明方法来分析求解，在中学数学中可以遇到不少类似的题目，都可以类似来求解.

例3 用向量证明三角公式:

cos()coscossinsin.

证明:如图3,作一个单位圆,取平面上的两个单位向量a、b使它们与x轴上的单位向量

i形成

α、角,即 OA

a,OBb.

abcos()cos(),

又acos,sin,bcos,sin, abcoscossinsin,

cos()coscossinsin.

图

评析:该公式在教材中采用构造法证明,先构造一个单位圆,再在单位圆上构造四点,形成两个全等三角形,利用两点间的距离公式证得.这种方法在构造图形上要求太高,很难与我们学过的知识相联系起来.当我们学过平面向量后,可以简洁地将此公式证明.

同法,我们可以证明:

例4coscos

12

cos()cos().

证明：设三个单位向量：

acos,sin,bcos,sin,ccos,sin, abcoscossinsincos(), accoscossinsincos(). abaccos()cos(). 又abaca(bc)， bc2cos,0, a(bc)2coscos.

综上所述,可得: coscos

12

cos()cos().

二 构造向量证明不等式

利用以下定理，可以用向量证明代数不等式.

定理: a,b为两个非零向量,则

:例5 设a,b,cR+，试证：证明:构造向量:

ab

bc

ca

(ab)1a1b1c



.

a

1bc11a,,,b,,.bcabca

(ab),得

(

ab



bc



ca

)1a



1b



1c

1a



1b



1c

,

即

ab



bc



ca







当且仅当abc时,不等号成立.

用向量证明问题还应该注意一些符号问题，如：

例6

2)

证明：由于a和b方向的不确定性，可按分类讨论的思想进行证明. (1) 若a与b共线且方向相同时，则



2

 



所以2).

(2) 若a与b共线且方向相反，则



2

 



所以2).

(3) 若a与b不共线时，如图4，设OAa,OBb,作平行四边形OACB，可得

OCab,BAab;

在三角形OAB

中，BOA;在三角形OAC

中，OAC. 因为BOAOAC

所以两式相加可得

B

C

2).

O

A

图4

评析：由于平面向量具有“数”和“形”的双重功能，涉及“数”与“形”的许多问题需要分类讨论，所以用分类讨论思想解决平面向量问题是顺理成章的事.通过分类讨论把向量中的问题分门别类转为局部问题，使繁复的向量问题简单化，从而达到解决问题的目的.

同样地，我们可以用构造向量的方法来证明三角不等式： 例7 设，，均为锐角，满足sin2sin2sin21则

sinsin



sinsin



sinsin

1。

证明：构造两个向量：

2sin

a

,

sinsin

sin



sinsin

,



, sinsinsin



b

sin,sinsin,sin.



sinsinsin

24

(ab).即

(

sin



sinsin



sinsinsin

)(sinsinsinsinsinsin)

(sinsin

22

sin)

所以

sinsin



sinsin



sinsin



(sinsin

22

sin)

22

sinsinsinsinsinsin



(sinsinsin)sinsinsin

2222

sinsinsin1

评析：证明此类不等式证明，若能观察到向量的“影子”，通过构造向量，利用向量的数量积运算公式，能使繁复的问题简单化.

例8 若x，y，zR，且xyz1.n为正整数.求证:

x

n

y(1y)



y

n

z(1z)



z

n

x(1x)



33

n2

n

9

.

证明：由已知条件，知1xn0,1yn0,1zn0. 构造向量：

a



x

n

,

y

n

,

y(1y)

z(1z)



,bn

x(1x)z

y(1y),

n

z(1z),

n

x(1x)

n



(xy

(ab).得



y

n

z)

[

x

n

y(1y)z(1z)



z

n

x(1x)

][y(1y)z(1z)x(1x)]

n

n

n

所以

x

n

y(1y)



y

n

z(1z)



z

n

x(1x)



(xyz)

(xyz)(x

n1

2222

y

n1

z

n1

)

[3(



xyz

)]

22

(xyz)3(

xyz

)

n1

122

[3()]n

33

n2.

1n139

13()

若取n1,得

x

y(1y)



y

z(1z)



z

x(1x)



16

.

(《上海中学数学》1993(2)数学问题1) 若取n2，得

x

y(1y)



y

z(1z)



z

x(1x)



18

.

(《数学通报》1994(11)数学问题921)

评析：此题也是巧妙构造向量的例子，题中n的取值不同可以得到不同的不等式方程，对应解决不同的数学问题.

小结：爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决.在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可以作为联系代数和几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点.本文主要从代数问题的角度利用向量方法证明，打破常规，构造向量，利用平面向量的数量积获得妙解.思路直观，运算简单，能把“数”与“形”有机的结合起来.

第五篇：9-5用向量方法证明平行与垂直

2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

例2.(线线垂直)

如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.BC=1，AA1=，M是例5.(面面平行)

如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平CC1的中点.求证：AB1⊥A1M.例3.(线面平行)

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD.

例4.(线面垂直)

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.第三页

面AMN∥平面EFDB.

例6。(面面垂直)

如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，且SAAB平面ABCD.

第四页E是SC中点.求证：

平面BDEy

，

2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

8. 平面α的一个法向量为v1=(1,2,1)，平面β的一个法向量v2=-(2,4,2)，则平面α与平面β() A.平行

B.垂直C.相交

D.不能确定

9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB

1、CD的中点，则() A.面AED∥面A1FD1B.面AED⊥面A1FD1 C.面AED与面A1FD相交但不垂直D.以上都不对

10.已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为

11，2，2，则m=________.11.如右上图所示，已知矩形ABCD，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________.

9. 如下图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. 证明：(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.

第三页

10. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB

1、DD

1、DC的中点，求证： (1)平面ADE∥平面B1C1F; (2)平面ADE⊥平面A1D1G;

(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

11.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos〈DP,AE〉=33

.

(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;(2)在平面PAD内求一点F,使EF

⊥平面

PCB

.

第四页