高中数学选修4知识点

第一篇：高中数学选修4知识点

高中数学选修4-5完整知识点

高中数学选修4--5知识点 ①(对称性)ba

②(传递性)ab,bcac

③(可加性)abacbc

(同向可加性)ab,cdacbd

(异向可减性)ab,cdacbd

④(可积性)ab,c0acbc

ab,c0acbc

⑤(同向正数可乘性)ab0,cd0acbd (异向正数可除性)ab0,0cdab

cd

⑥(平方法则)ab0anbn(nN,且n1)

⑦(开方法则)ab0nN,且n1) ⑧(倒数法则)ab0

1111;ab0 abab

a2b

2. ①ab2aba，bR,(当且仅当ab时取""号).ab222

②(基本不等式)

aba，bR,(当且仅当ab时取到等号). 2

2ab变形公式：

abab. 2

用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最大)，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③

(三个正数的算术—几何平均不等式)

等号).

④abcabbccaa，bR 222abc(a、b、cR)(当且仅当abc时取到

3(当且仅当abc时取到等号).⑤abc3abc(a0,b0,c0)

(当且仅当abc时取到等号). 333

ba2(当仅当a=b时取等号) ab

ba若ab0,则2(当仅当a=b时取等号) ab

bbmana1，⑦(其中ab0，m0，n0) aambnb⑥若ab0,则

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧当a0xax2a2xa或xa;

xax2a2axa. ⑨绝对值三角不等式ababab.

2ab①平均不等式：1，当且仅当ab时取""号). (a,bR1ab2(即调和平均几何平均算术平均平方平均).

变形公式：

22(ab)2abab22. ab; ab222

2②幂平均不等式：

a12a22...an21(a1a2...an)2. n

③二维形式的三角不等式：

(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：

(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号

成立.

⑧排序不等式(排序原理)：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

，当a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.(反序和乱序和顺序和)

且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸(或凹)函数. ).2

24 常用方法有：比较法(作差，作商法)、综合法、分析法;

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如(a)

②将分子或分母放大(缩小)， 如12231(a)2; 421111,,22kk(k1)kk(k

1)

kN*,k1)等.

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7f(x)0f(x)g(x)0g(x)

f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0“或”(时同理)

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8f(x)0 a(a0)2f(x)a

f(x)0a(a0) 2f(x)a

f(x)0f(x)0

g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2

f(x)0

g(x)g(x)0

f(x)[g(x)]2

f(x)0 g(x)0

f(x)g(x)9⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x) 10f(x)0⑴当a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)0. ⑵当0a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

11⑴定义法：aa(a0). a(a0)

22⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x). ⑶同解变形法，其同解定理有：

①xaaxa(a0);

②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)

④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a与0的大小;

⑵讨论与0的大小;

⑶讨论两根的大小.

14⑴不等式axbxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：

①当a0时 b0,c0; 2

2②当a0时

2a0 0.⑵不等式axbxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：

①当a0时b0,c0;

②当a0时a0 0.

⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)(如原点)，由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实;选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，

AxByC0(或0)表示直线上方的区域;若异号，则表示直线上方的区域.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数)的最值：

法一：角点法：

如果目标函数zAxBy (x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域;第二步，作直线l0:AxBy0 ，平移直线l0(据可行域，将直线l0平行移动)确定最优解;第三步，求出最优解(x,y);第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：yAzzx,为直线的纵截距. BBB

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值;

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值. ①“截距”型：zAxBy; ②“斜率”型：zyyb; 或zxxa

22③“距离”型：zx

y或z

z(xa)2(y

b)2或z

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

第二篇：高中化学选修4知识点

第二章化学反应速率和化学平衡

1、化学反应速率

(1)化学反应速率的概念

化学反应速率是用来衡量化学反应进行的快慢程度的物理量。

(2)化学反应速率的表示方法

对于反应体系体积不变的化学反应，通常用单位时间内反应物或生成物的物质的量浓度的变化值表示。

某一物质A的化学反应速率的表达式为：

式中——某物质A的浓度变化，常用单位为mol·L-1。

——某段时间间隔，常用单位为s,min,h。

υ——物质A的反应速率，常用单位是mol·L-1·s-1，mol·L-1·s-1等。

(3)化学反应速率的计算规律

①同一反应中不同物质的化学反应速率间的关系

同一时间内，用不同的物质表示的同一反应的反应速率数值之比等于化学方程式中各物质的化学计量数之比。

②化学反应速率的计算规律

同一化学反应，用不同物质的浓度变化表示的化学反应速率之比等于反应方程式中相应的物质的化学计量数之比，这是有关化学反应速率的计算或换算的依据。

(4)化学反应速率的特点

①反应速率不取负值，用任何一种物质的变化来表示反应速率都不取负值。

②同一化学反应选用不同物质表示反应速率时，可能有不同的速率数值，但速率之比等于化学方程式中各物质的化学计量数之比。

③化学反应速率是指时间内的“平均”反应速率。

小贴士：①化学反应速率通常指的是某物质在某一段时间内化学反应的平均速率，而不是在某一时刻的瞬时速率。

②由于在反应中纯固体和纯液体的浓度是恒定不变的，因此对于有纯液体或纯固体参加的反应一般不用纯液体或纯固体来表示化学反应速率。其化学反应速率与其表面积大小有关，而与其物质的量的多少无关。通常是通过增大该物质的表

面积(如粉碎成细小颗粒、 充分搅拌、 振荡等)来加快反应速率。

③对于同一化学反应，在相同的反应时间内，用不同的物质来表示其反应速率，其数值可能不同，但这些不同的数值表示的都是同一个反应的速率。因此，表示化学反应的速率时，必须指明是用反应体系中的哪种物质做标准。

2、化学反应速率的测量

(1)基本思路

化学反应速率是通过实验测定的。因为化学反应中发生变化的是体系中的化学物质(包括反应物和生成物)，所以与其中任何一种化学物质的浓度(或质量)相关的性质在测量反应速率时都可以加以利用。

(2)测定方法

①直接可观察的性质，如释放出气体的体积和体系的压强。

②依靠科学仪器才能测量的性质，如颜色的深浅、光的吸收、光的发射、导电能力等。

③在溶液中，当反应物或产物本身有比较明显的颜色时，常常利用颜色深浅和显色物质浓度间的正比关系来跟踪反应的过程和测量反应速率。

第三篇：高中化学选修4知识点归纳总结

高中化学选修4知识点归纳总结 第一章 化学反应与能量

一、焓变 反应热 1.反应热：一定条件下，一定物质的量的反应物之间完全反应所放出或吸收的热量

2.焓变(ΔH)的意义：在恒压条件下进行的化学反应的热效应(1).符号： △H (2).单位：kJ/mol 3.产生原因：化学键断裂——吸热 化学键形成——放热放出热量的化学反应。(放热>吸热) △H 为―—‖或△H <0吸收热量的化学反应。(吸热>放热)△H 为―+‖或△H >0☆ 常见的放热反应：① 所有的燃烧反应 ② 酸碱中和反应 ③ 大多数的化合反应 ④ 金属与酸的反应 ⑤ 生石灰和水反应 ⑥ 浓硫酸稀释、氢氧化钠固体溶解等☆ 常见的吸热反应：① 晶体Ba(OH) 2?8H2O与NH4Cl ② 大多数的分解反应 ③ 以H

2、CO、C为还原剂的氧化还原反应 ④ 铵盐溶解等

二、热化学方程式 书写化学方程式注意要点: ①热化学方程式必须标出能量变化。 ②热化学方程式中必须标明反应物和生成物的聚集状态(g,l,s分别表示固态，液态，气态，水溶液中溶质用aq表示) ③热化学反应方程式要指明反应时的温度和压强。 ④热化学方程式中的化学计量数可以是整数，也可以是分数 ⑤各物质系数加倍，△H加倍;反应逆向进行，△H改变符号，数值不变

三、燃烧热1.概念：25 ℃，101 kPa时，1 mol纯物质完全燃烧生成稳定的化合物时所放出的热量。燃烧热的单位用kJ/mol表示。※注意以下几点：①研究条件：101 kPa②反应程度：完全燃烧，产物是稳定的氧化物。③燃烧物的物质的量：1 mol④研究内容：放出的热量。(ΔH<0，单位kJ/mol)

四、中和热1.概念：在稀溶液中，酸跟碱发生中和反应而生成1mol H2O，这时的反应热叫中和热。2.强酸与强碱的中和反应其实质是H+和OH-反应，其热化学方程式为：H+(aq) +OH-(aq) =H2O(l) ，ΔH=-57.3kJ/mol3.弱酸或弱碱电离要吸收热量，所以它们参加中和反应时的中和热小于57.3kJ/mol。

4.中和热的测定实验

五、盖斯定律1.内容：化学反应的反应热只与反应的始态(各反应物)和终态(各生成物)有关，而与具体反应进行的途径无关，如果一个反应可以分几步进行，则各分步反应的反应热之和与该反应一步完成的反应热是相同的。

第二章 化学反应速率和化学平衡

一、化学反应速率1. 化学反应速率(v)⑴ 定义：用来衡量化学反应的快慢，单位时间内反应物或生成物的物质的量的变化⑵ 表示方法：单位时间内反应浓度的减少或生成物浓度的增加来表示⑶ 计算公式：v=Δc/Δt(υ：平均速率，Δc：浓度变化，Δt：时间)单位：mol/(L?s)⑷ 影响因素：① 决定因素(内因)：反应物的性质(决定因素)② 条件因素(外因)：反应所处的条件

外因对化学反应速率影响的变化规律 条件变化 反应物的浓度 大

减小

气体反应物的压强 大

减

单位体积里的总数目减少，百分数不变

减小 增

单位体积里的总数目增多，百分数不变

增大

单位体积里的总数目减少，百分数不变

减小 增

活化分子的量的变化

单位体积里的总数目增多，百分数不变

反应速率的变化 增大 小

反应物的温度 高

降低

反应物的催化剂 用

撤去

其他

剂等

※注意：(1)、参加反应的物质为固体和液体，由于压强的变化对浓度几乎无影响，可以认为反应速率不变。 (2)、惰性气体对于速率的影响 ①恒温恒容时：充入惰性气体→总压增大，但是各分压不变，各物质浓度不变→反应速率不变②恒温恒体时：充入惰性气体→体积增大→各反应物浓度减小→反应速率减慢

二、化学平衡

(一)1.定义：化学平衡状态：一定条件下，当一个可逆反应进行到正逆反应速率相等时，更组成成分浓度不再改变，达到表面上静止的一种―平衡‖，这就是这个反应所能达到的限度即化学平衡状态。

2、化学平衡的特征逆(研究前提是可逆反应)等(同一物质的正逆反应速率相等) 动(动态平衡) 定(各物质的浓度与质量分数恒定) 变(条件改变，平衡发生变化)

3、判断平衡的依据判断可逆反应达到平衡状态的方法和依据

例举反应

mA(g)+nB(g) C(g)+qD(g) ①各物质的物质的量或各物质的物质的量的分数一定

混合物体系中

各成分的含量

④总体积、总压力、总物质的量一定

①在单位时间内消耗了m molA同时生成m molA，即V(正)=V(逆) ②在单位时间内消耗了n molB同时消耗了p molC，则正、逆反应 速率的关系

③V(A):V(B):V(C):V(D)=m:n:p:q，V(正)不一定等于V(逆) ④在单位时间内生成n molB，同时消耗了q molD，因均指V(逆) ①m+n≠p+q时，总压力一定(其他条件一定)

压强

②m+n=p+q时，总压力一定(其他条件一定)

不一定平衡 平衡 不一定平衡 不一定平衡 V(正)=V(逆)

不一定平衡 ②各物质的质量或各物质质量分数一定 ③各气体的体积或体积分数一定

平衡 平衡 平衡

光，电磁波，超声波，固体反应物颗粒的大小，溶

有影响

百分数剧减，单位体积里的总数目剧减

剧减 使

百分数剧增，单位体积里的总数目剧增

剧增

百分数减少，单位体积里的总数目减少

减小 升

百分数增大，单位体积里的总数目增多

增大

平衡

平衡 混合气体平均相对分子质量Mr ①Mr一定时，只有当m+n≠p+q时 ②Mr一定时，但m+n=p+q时

平衡 不一定平衡 平衡 不一定平衡 平衡 温度 体系的密度 其他 任何反应都伴随着能量变化，当体系温度一定时(其他不变) 密度一定

如体系颜色不再变化等

(二)影响化学平衡移动的因素

1、浓度对化学平衡移动的影响(1)影响规律：在其他条件不变的情况下，增大反应物的浓度或减少生成物的浓度，都可以使平衡向正方向移动;增大生成物的浓度或减小反应物的浓度，都可以使平衡向逆方向移动(2)增加固体或纯液体的量，由于浓度不变，所以平衡不移动(3)在溶液中进行的反应，如果稀释溶液，反应物浓度减小，生成物浓度也减小， V正减小，V逆也减小，但是减小的程度不同，总的结果是化学平衡向反应方程式中化学计量数之和大的方向移动。

2、温度对化学平衡移动的影响影响规律：在其他条件不变的情况下，温度升高会使化学平衡向着吸热反应方向移动，温度降低会使化学平衡向着放热反应方向移动。

3、压强对化学平衡移动的影响影响规律：其他条件不变时，增大压强，会使平衡向着体积缩小方向移动;减小压强，会使平衡向着体积增大方向移动。注意：(1)改变压强不能使无气态物质存在的化学平衡发生移动(2)气体减压或增压与溶液稀释或浓缩的化学平衡移动规律相似4.催化剂对化学平衡的影响：由于使用催化剂对正反应速率和逆反应速率影响的程度是等同的，所以平衡不移动。但是使用催化剂可以影响可逆反应达到平衡所需的_时间_。5.勒夏特列原理(平衡移动原理)：如果改变影响平衡的条件之一(如温度，压强，浓度)，平衡向着能够减弱这种改变的方向移动。

三、化学平衡常数

(一)定义：在一定温度下，当一个反应达到化学平衡时，生成物浓度幂之积与反应物浓度幂之积的比值是一个常数比值。 符号：K

(二)使用化学平衡常数K应注意的问题：

1、表达式中各物质的浓度是变化的浓度，不是起始浓度也不是物质的量。

2、K只与温度(T)关，与反应物或生成物的浓度无关。

3、反应物或生产物中有固体或纯液体存在时，由于其浓度是固定不变的，可以看做是―1‖而不代入公式。

4、稀溶液中进行的反应，如有水参加，水的浓度不必写在平衡关系式中。

(三)化学平衡常数K的应用:

1、化学平衡常数值的大小是可逆反应进行程度的标志。K值越大，说明平衡时生成物的浓度越大，它的正向反应进行的程度越大，即该反应进行得越完全，反应物转化率越高。反之，则相反。

2、可以利用K值做标准，判断正在进行的可逆反应是否平衡及不平衡时向何方进行建立平衡。(Q：浓度积)Q〈K:反应向正反应方向进行;Q=K:反应处于平衡状态 ;Q〉K:反应向逆反应方向进行

3、利用K值可判断反应的热效应若温度升高，K值增大，则正反应为吸热反应若温度升高，K值减小，则正反应为放热反应*

四、等效平衡

1、概念：在一定条件下(定温、定容或定温、定压)，只是起始加入情况不同的同一可逆反应达到平衡后，任何相同组分的百分含量均相同，这样的化学平衡互称为等效平衡。

2、分类(1)定温，定容条件下的等效平衡第一类：对于反应前后气体分子数改变的可逆反应：必须要保证化学计量数之比与原来相同;同时必须保证平衡式左右两边同一边的物质的量与原来相同。第二类：对于反应前后气体分子数不变的可逆反应：只要反应物的物质的量的比例与原来相同即可视为二者等效。(2)定温，定压的等效平衡只要保证可逆反应化学计量数之比相同即可视为等效平衡。

五、化学反应进行的方向

1、反应熵变与反应方向：(1)熵:物质的一个状态函数，用来描述体系的混乱度，符号为S. 单位：J???mol-1?K-1 (2)体系趋向于有序转变为无序，导致体系的熵增加，这叫做熵增加原理，也是反应方向判断的依据。.(3)同一物质，在气态时熵值最大，液态时次之，固态时最小。即S(g)〉S(l)〉S(s)

2、反应方向判断依据 在温度、压强一定的条件下，化学反应的判读依据为： ΔH-TΔS〈0 反应能自发进行ΔH-TΔS=0 反应达到平衡状态ΔH-TΔS〉0 反应不能自发进行注意：(1)ΔH为负，ΔS为正时，任何温度反应都能自发进行 (2)ΔH为正，ΔS为负时，任何温度反应都不能自发进行

第三章 水溶液中的离子平衡

一、弱电解质的电离

1、定义：电解质：在水溶液中或熔化状态下能导电的化合物,叫电解质。 非电解质：在水溶液中或熔化状态下都不能导电的化合物。

强电解质：在水溶液里全部电离成离子的电解质。

弱电解质： 在水溶液里只有一部分分子电离成离子的电解质。

2、电解质与非电解质本质区别：

电解质——离子化合物或共价化合物 非电解质——共价化合物

注意：①电解质、非电解质都是化合物 ②SO

2、NH

3、CO2等属于非电解质

③强电解质不等于易溶于水的化合物(如BaSO4不溶于水，但溶于水的BaSO4全部电离，故BaSO4 为强电解质)——电解质的强弱与导电性、溶解性无关。

3、电离平衡：在一定的条件下，当电解质分子电离成 离子的速率 和离子结合成 时，电离过程就达到了 平衡状态 ，这叫电离平衡。

4、影响电离平衡的因素：

A、温度：电离一般吸热，升温有利于电离。

B、浓度：浓度越大，电离程度 越小 ;溶液稀释时，电离平衡向着电离的方向移动。C、同离子效应：在弱电解质溶液里加入与弱电解质具有相同离子的电解质，会 减弱 电离。D、其他外加试剂：加入能与弱电解质的电离产生的某种离子反应的物质时，有利于电离。

9、电离方程式的书写：用可逆符号 弱酸的电离要分布写(第一步为主)

10、电离常数：在一定条件下，弱电解质在达到电离平衡时，溶液中电离所生成的各种离子浓度的乘积，跟溶液中未电离的分子浓度的比是一个常数。叫做电离平衡常数，(一般用Ka表示酸，Kb表示碱。 )

表示方法：AB

11、影响因素：

a、电离常数的大小主要由物质的本性决定。

b、电离常数受温度变化影响，不受浓度变化影响，在室温下一般变化不大。 C、同一温度下，不同弱酸，电离常数越大，其电离程度越大，酸性越强。如：H2SO3>H3PO4>HF>CH3COOH>H2CO3>H2S>HClO

A++B- Ki=[ A+][ B-]/[AB]

二、水的电离和溶液的酸碱性

1、水电离平衡：:

水的离子积：KW = c[H+]·c[OH-] 25℃时, [H+]=[OH-] =10-7 mol/L ; KW = [H+]·[OH-] = 1*10-14 注意：KW只与温度有关，温度一定，则KW值一定 KW不仅适用于纯水，适用于任何溶液(酸、碱、盐)

2、水电离特点：(1)可逆 (2)吸热 (3)极弱

3、影响水电离平衡的外界因素： ①酸、碱 ：抑制水的电离 KW〈1*10-14 ②温度：促进水的电离(水的电离是 吸 热的) ③易水解的盐：促进水的电离 KW 〉 1*10-14

4、溶液的酸碱性和pH：

(1)pH=-lgc[H+] (2)pH的测定方法：

酸碱指示剂—— 甲基橙 、 石蕊 、 酚酞 。

变色范围：甲基橙 3.1~4.4(橙色) 石蕊5.0~8.0(紫色) 酚酞8.2~10.0(浅红色) pH试纸 —操作 玻璃棒蘸取未知液体在试纸上，然后与标准比色卡对比即可 。

注意：①事先不能用水湿润PH试纸;②广泛pH试纸只能读取整数值或范围 三 、混合液的pH值计算方法公式

1、强酸与强酸的混合：(先求[H+]混：将两种酸中的H+离子物质的量相加除以总体积，再求其它) [H+]混 =([H+]1V1+[H+]2V2)/(V1+V2)

2、强碱与强碱的混合：(先求[OH-]混：将两种酸中的OH离子物质的量相加除以总体积，再求其它) [OH-]混=([OH-]1V1+[OH-]2V2)/(V1+V2) (注意 :不能直接计算[H+]混)

3、强酸与强碱的混合：(先据H+ + OH- ==H2O计算余下的H+或OH-，①H+有余，则用余下的H+数除以溶液总体积求[H+]混;OH-有余，则用余下的OH-数除以溶液总体积求[OH-]混，再求其它)

四、稀释过程溶液pH值的变化规律：

1、强酸溶液：稀释10n倍时，pH稀=pH原+ n (但始终不能大于或等于7)

2、弱酸溶液：稀释10n倍时，pH稀〈pH原+n (但始终不能大于或等于7)

3、强碱溶液：稀释10n倍时，pH稀=pH原-n (但始终不能小于或等于7)

4、弱碱溶液：稀释10n倍时，pH稀〉pH原-n (但始终不能小于或等于7)

5、不论任何溶液，稀释时pH均是向7靠近(即向中性靠近);任何溶液无限稀释后pH均接近7

6、稀释时，弱酸、弱碱和水解的盐溶液的pH变化得慢，强酸、强碱变化得快。

五、强酸(pH1)强碱(pH2)混和计算规律

1、若等体积混合

pH1+pH2=14 则溶液显中性pH=7 pH1+pH2≥15 则溶液显碱性pH=pH2-0.3 pH1+pH2≤13 则溶液显酸性pH=pH1+0.3

2、若混合后显中性

pH1+pH2=14 V酸：V碱=1：1 pH1+pH2≠14 V酸：V碱=1：10〔14-(pH1+pH2)〕

六、酸碱中和滴定：

1、中和滴定的原理

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 实质：H++OH—=H2O 即酸能提供的H+和碱能提供的OH-物质的量相等。

2、中和滴定的操作过程：

(1)仪②滴定管的刻度，O刻度在 上 ，往下刻度标数越来越大，全部容积 大于 它的最大刻度值，因为下端有一部分没有刻度。滴定时，所用溶液不得超过最低刻度，不得一次滴定使用两滴定管酸(或碱)，也不得中途向滴定管中添加。②滴定管可以读到小数点后 一位 。

(2)药品：标准液;待测液;指示剂。 (3)准备过程：

准备：检漏、洗涤、润洗、装液、赶气泡、调液面。(洗涤：用洗液洗→检漏：滴定管是否漏水→用水洗→用标准液洗(或待测液洗)→装溶液→排气泡→调液面→记数据V(始) (4)试验过程

3、酸碱中和滴定的误差分析

误差分析：利用n酸c酸V酸=n碱c碱V碱进行分析

式中：n——酸或碱中氢原子或氢氧根离子数;c——酸或碱的物质的量浓度; V——酸或碱溶液的体积。当用酸去滴定碱确定碱的浓度时，则：

c碱= 上述公式在求算浓度时很方便，而在分析误差时起主要作用的是分子上的V酸的变化，因为在滴定过程中c酸为标准酸，其数值在理论上是不变的，若稀释了虽实际值变小，但体现的却是V酸的增大，导致c酸偏高;V碱同样也是一个定值，它是用标准的量器量好后注入锥形瓶中的，当在实际操作中碱液外溅，其实际值减小，但引起变化的却是标准酸用量的减少，即V酸减小，则c碱降低了;对于观察中出现的误差亦同样如此。综上所述，当用标准酸来测定碱的浓度时，c碱的误差与V酸的变化成正比，即当V酸的实测值大于理论值时，c碱偏高，反之偏低。

同理，用标准碱来滴定未知浓度的酸时亦然。

七、盐类的水解(只有可溶于水的盐才水解)

1、盐类水解：在水溶液中盐电离出来的离子跟水电离出来的H+或OH-结合生成弱电解质的反应。

2、水解的实质： 水溶液中盐电离出来的离子跟水电离出来的H+或OH-结合,破坏水的电离，是平衡向右移动，促进水的电离。

3、盐类水解规律：

①有 弱 才水解，无弱不水解，越弱越水解;谁 强显谁性，两弱都水解，同强显中性。

②多元弱酸根，浓度相同时正酸根比酸式酸根水解程度大，碱性更强。 (如:Na2CO3 >NaHCO3)

4、盐类水解的特点：(1)可逆(与中和反应互逆) (2)程度小 (3)吸热

5、影响盐类水解的外界因素：

①温度：温度越 高 水解程度越大 (水解吸热，越热越水解) ②浓度：浓度越小，水解程度越 大 (越稀越水解)

③酸碱：促进或抑制盐的水解(H+促进 阴离子 水解而 抑制 阳离子水解;OH -促进阳离子水解而抑制阴离子水解)

6、酸式盐溶液的酸碱性：

①只电离不水解：如HSO4- 显 酸 性

②电离程度>水解程度，显 酸 性 (如: HSO3- 、H2PO4-) ③水解程度>电离程度，显 碱 性 (如：HCO3- 、HS- 、HPO42-)

7、双水解反应：

(1)构成盐的阴阳离子均能发生水解的反应。双水解反应相互促进，水解程度较大，有的甚至水解完全。使得平衡向右移。

( 2)常见的双水解反应完全的为：Fe3+、Al3+与AlO2-、CO32-(HCO3-)、S2-(HS-)、SO32-(HSO3-);S2-与NH4+;CO32-(HCO3-)与NH4+其特点是相互水解成沉淀或气体。双水解完全的离子方程式配平依据是两边电荷平衡，如：2Al3+ + 3S2- + 6H2O == 2Al(OH)3↓+ 3H2S↑

8、盐类水解的应用： 水解的应用

1、净水

实例 明矾净水

原理

Al3++3H2O Al(OH)3(胶体)+3H+

2、去油污

用热碱水冼油污物品 CO32-+H2O HCO3-+OH-

①配制FeCl3溶液时常加

3、药品的保存 入少量盐酸

②配制Na2CO3溶液时常加入少量NaOH

Fe3++3H2O Fe(OH)3+3H+

CO32-+H2O HCO3-+OH-

若不然，则：

由MgCl2·6H2O制无水

4、制备无水盐 MgCl2 在HCl气流中加热

MgCl2·6H2O Mg(OH)2+2HCl+4H2O Mg(OH)2 MgO+H2O

用Al2(SO4)3与NaHCO3溶液混合

5、泡沫灭火器 Al3++3HCO3-=Al(OH)3↓+3CO2↑

6、比较盐溶液中离子浓度的大小

比较NH4Cl溶液中离子浓度的大小

NH4++H2O NH3·H2O+H+ c(Cl-)>c(NH4+)>c(H+)>c(OH)-

9、水解平衡常数 (Kh)

对于强碱弱酸盐：Kh =Kw/Ka(Kw为该温度下水的离子积，Ka为该条件下该弱酸根形成的弱酸的电离平衡常数) 对于强酸弱碱盐：Kh =Kw/Kb(Kw为该温度下水的离子积，Kb为该条件下该弱碱根形成的弱碱的电离平衡常数)

电离、水解方程式的书写原则

1、多元弱酸(多元弱酸盐)的电离(水解)的书写原则：分步书写

注意：不管是水解还是电离，都决定于第一步，第二步一般相当微弱。

2、多元弱碱(多元弱碱盐)的电离(水解)书写原则：一步书写

八、溶液中微粒浓度的大小比较

☆☆基本原则：抓住溶液中微粒浓度必须满足的三种守恒关系：

①电荷守恒：:任何溶液均显电 中 性，各阳离子浓度与其所带电荷数的乘积之和=各阴离子浓度与其所带电荷数的乘积之和

②物料守恒: (即原子个数守恒或质量守恒)

某原子的总量(或总浓度)=其以各种形式存在的所有微粒的量(或浓度)之和 ③质子守恒：即水电离出的H+浓度与OH-浓度相等。

九、难溶电解质的溶解平衡

1、难溶电解质的溶解平衡的一些常见知识 (1)溶解度 小于 0.01g的电解质称难溶电解质。

(2)反应后离子浓度降至1*10-5以下的反应为完全反应。如酸碱中和时[H+]降至10-7mol/L<10-5mol/L，故为完全反应，用―=‖，常见的难溶物在水中的离子浓度均远低于10-5mol/L，故均用―=‖。

(3)难溶并非不溶，任何难溶物在水中均存在溶解平衡。

(4)掌握三种微溶物质：CaSO

4、Ca(OH)

2、Ag2SO4 (5)溶解平衡常为吸热，但Ca(OH)2为放热，升温其溶解度减少。

(6)溶解平衡存在的前提是：必须存在沉淀，否则不存在平衡。

2、溶解平衡方程式的书写

注意在沉淀后用(s)标明状态，并用― ‖。如：Ag2S(s) 2Ag+(aq)+ S2-(aq)

3、沉淀生成的三种主要方式

(1)加沉淀剂法：Ksp越小(即沉淀越难溶)，沉淀越完全;沉淀剂过量能使沉淀更完全。

(2)调pH值除某些易水解的金属阳离子：如加MgO除去MgCl2溶液中FeCl3。

(3)氧化还原沉淀法：

(4)同离子效应法

4、沉淀的溶解：

沉淀的溶解就是使溶解平衡正向移动。常采用的方法有：①酸碱;②氧化还原;③ 沉淀转化 。

5、沉淀的转化：

溶解度大的生成溶解度小的，溶解度小的生成溶解度 更小 的。

如：AgNO3 AgCl(白色沉淀) AgBr(淡黄色) AgI (黄色) Ag2S(黑色)

6、溶度积(KSP)

1、定义：在一定条件下，难溶电解质电解质溶解成离子的速率等于离子重新结合成沉淀的速率，溶液中各离子的浓度保持不变的状态。

2、表达式：AmBn(s) mAn+(aq)+nBm-(aq) KSP= [c(An+)]m ?[c(Bm-)]n

3、影响因素：

外因：①浓度：加水，平衡向溶解方向移动。 ②温度：升温，多数平衡向溶解方向移动。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4、溶度积规则

QC(离子积)〉KSP 有沉淀析出 QC= KSP 平衡状态 QC〈KSP 饱和，继续溶解 第四章 电化学基础 第一节 原电池 原电池：

1、概念：化学能转化为电能的装置叫做原电池。

2、组成条件：①两个活泼性不同的电极② 电解质溶液③ 电极用导线相连并插入电解液构成闭合回路

3、电子流向：外电路： 负 极——导线—— 正 极

内电路：盐桥中 阴 离子移向负极的电解质溶液，盐桥中 阳 离子移向正极的电解质溶液。

4、电极反应：以锌铜原电池为例：

负极： 氧化反应： Zn-2e=Zn2+ (较活泼金属) 正极： 还原反应： 2H++2e=H2↑ (较不活泼金属) 总反应式： Zn+2H+=Zn2++H2↑

5、正、负极的判断：

(1)从电极材料：一般较活泼金属为负极;或金属为负极，非金属为正极。 (2)从电子的流动方向 负极流入正极 (3)从电流方向 正极流入负极

(4)根据电解质溶液内离子的移动方向 阳离子流向正极，阴离子流向负极 (5)根据实验现象①__溶解的一极为负极② 增重或有气泡一极为正极 第二节 化学电池

1、电池的分类：化学电池、太阳能电池、原子能电池

2、化学电池：借助于化学能直接转变为电能的装置

3、化学电池的分类： 一次电池 、 二次电池 、 燃料电池

一、一次电池

1、常见一次电池：碱性锌锰电池、锌银电池、锂电池等

二、二次电池

1、二次电池：放电后可以再充电使活性物质获得再生，可以多次重复使用，又叫充电电池或蓄电池。

2、电极反应：铅蓄电池

放电：负极(铅)： Pb+-2e- =PbSO4↓

正极(氧化铅)： PbO2+4H+++2e- =PbSO4↓+2H2O 充电：阴极： PbSO4+2H2O-2e- =PbO2+4H++

阳极： PbSO4+2e- =Pb+

两式可以写成一个可逆反应： PbO2+Pb+2H2SO4 2PbSO4↓+2H2O

3、目前已开发出新型蓄电池：银锌电池、镉镍电池、氢镍电池、锂离子电池、聚合物锂离子电池

三、燃料电池

1、燃料电池： 是使燃料与氧化剂反应直接产生电流的一种原电池

2、电极反应：一般燃料电池发生的电化学反应的最终产物与燃烧产物相同，可根据燃烧反应写出总的电池反应，但不注明反应的条件。，负极发生氧化反应，正极发生还原反应，不过要注意一般电解质溶液要参与电极反应。以氢氧燃料电池为例，铂为正、负极，介质分为酸性、碱性和中性。 当电解质溶液呈酸性时：

负极：2H2-4e- =4H+ 正极：O2+4e- +4H+ =2H2O 当电解质溶液呈碱性时：

负极： 2H2+4OH--4e-=4H2O 正极：O2+2H2O+4 e- =4OH- 另一种燃料电池是用金属铂片插入KOH溶液作电极，又在两极上分别通甲烷(燃料)和氧气(氧化剂)。电极反应式为：

负极：CH4+10OH--8e-- = +7H2O; 正极：4H2O+2O2+8e- =8OH-。

电池总反应式为：CH4+2O2+2KOH=K2CO3+3H2O

3、燃料电池的优点：能量转换率高、废弃物少、运行噪音低

四、废弃电池的处理：回收利用 第三节 电解池

一、电解原理

1、电解池： 把电能转化为化学能的装置 也叫电解槽

2、电解：电流(外加直流电)通过电解质溶液而在阴阳两极引起氧化还原反应(被动的不是自发的)的过程

3、放电：当离子到达电极时，失去或获得电子，发生氧化还原反应的过程

4、电子流向：

(电源)负极—(电解池)阴极—(离子定向运动)电解质溶液—(电解池)阳极—(电源)正极

5、电极名称及反应：

阳极：与直流电源的 正极 相连的电极，发生 氧化 反应

阴极：与直流电源的 负极 相连的电极，发生 还原 反应

6、电解CuCl2溶液的电极反应： 阳极： 2Cl- -2e-=Cl2 (氧化) 阴极： Cu2++2e-=Cu(还原) 总反应式： CuCl2 =Cu+Cl2 ↑

7、电解本质：电解质溶液的导电过程，就是电解质溶液的电解过程 ☆规律总结：电解反应离子方程式书写： 放电顺序： 阳离子放电顺序

Ag+>Hg2+>Fe3+>Cu2+>H+(指酸电离的)>Pb2+>Sn2+>Fe2+>Zn2+>Al3+>Mg2+>Na+>Ca2+>K+ 阴离子的放电顺序

是惰性电极时：S2->I->Br->Cl->OH->NO3->SO42-(等含氧酸根离子)>F-(SO32-/MnO4->OH-) 是活性电极时：电极本身溶解放电

注意先要看电极材料，是惰性电极还是活性电极，若阳极材料为活性电极(Fe、Cu)等金属，则阳极反应为电极材料失去电子，变成离子进入溶液;若为惰性材料，则根据阴阳离子的放电顺序，依据阳氧阴还的规律来书写电极反应式。

电解质水溶液点解产物的规律 类型 电极反应特点

实例

对象

电解

度

分解电解质型 电解质电离出的阴阳离子分别在两极放电

CuCl2 HCl

质

电解

减小

大

---

Cl2 放H2生成碱型 阴极：水放H2生碱 阳极：电解质阴离子放电

NaCl

电解质和水

解质

生成新电

大 生

氧化

增

HCl

增

Cu

电解质浓

pH

原

HCl 电解质溶液复放氧阴极：电解质阳离子放电 CuSO4 电解生酸型 阳极：水放O2生酸 质和水 成新电解质

小

增大

小 大

减铜

电解水型 阴极：4H+4e- == 2H2 ↑ 阳极：4OH-4e- == O2↑+ 2H2O

NaOH

水

增水

H2SO4 减

Na2SO4

变

上述四种类型电解质分类：

(1)电解水型：含氧酸，强碱，活泼金属含氧酸盐

(2)电解电解质型：无氧酸，不活泼金属的无氧酸盐(氟化物除外) (3)放氢生碱型：活泼金属的无氧酸盐 (4)放氧生酸型：不活泼金属的含氧酸盐

二、电解原理的应用

1、电解饱和食盐水以制造烧碱、氯气和氢气

(1)、电镀应用电解原理在某些金属表面镀上一薄层其他金属或合金的方法 (2)、电极、电解质溶液的选择：

阳极：镀层金属，失去电子，成为离子进入溶液 M— ne== M 电解质溶液：含有镀层金属离子的溶液做电镀液 镀铜反应原理

阳极(纯铜)：Cu-2e-=Cu2+，阴极(镀件)：Cu2++2e-=Cu，

电解液：可溶性铜盐溶液，如CuSO4溶液 (3)、电镀应用之一：铜的精炼

阳极：粗铜;阴极： 纯铜电解质溶液： 硫酸铜

3、电冶金

(1)、电冶金：使矿石中的 金属阳离子 获得电子，从它们的化合物中还原出来用于冶炼活泼金属，如钠、镁、钙、铝

(2)、电解氯化钠：

通电前，氯化钠高温下熔融：NaCl == Na + + Cl- 通直流电后：阳极：2Na+ + 2e- == 2Na 阴极：2Cl-— 2e- == Cl2↑

☆规律总结：原电池、电解池、电镀池的判断规律

(1)若无外接电源，又具备组成原电池的三个条件。①有活泼性不同的两个电极;②两极用导线互相连接成直接插入连通的电解质溶液里;③较活泼金属与电解质溶液能发生氧化还原反应(有时是与水电离产生的H+作用)，只要同时具备这三个条件即为原电池。

(2)若有外接电源，两极插入电解质溶液中，则可能是电解池或电镀池;当阴极为金属，阳极亦为金属且与电解质溶液中的金属离子属同种元素时，则为电镀池。

(3)若多个单池相互串联，又有外接电源时，则与电源相连接的装置为电解池成电镀池。若无外接电源时，先选较活泼金属电极为原电池的负极(电子输出极)，有关装置为原电池，其余为电镀池或电解池。

☆ 原电池，电解池，电镀池的比较

原电池

性质 类别

定义

(装置特点) 反应特征

装置特征

将化学能转变成电能的装置

将电能转变成化学能的装置

应用电解原理在某些金属表面镀上一侧层其他金属

电解池

电镀池

自发反应 无电源，两级材料不同

非自发反应 有电源，两级材料可同可不同

两电极连接直流电源 两电极插入电解质溶

非自发反应

有电源

形成条件

极

活动性不同的两1镀层金属接电源正极，待镀金属接负极;2电镀液必须含有镀层金属的离子

电解质溶液 形成闭合回路

电极名称

属

正极：较不活泼负极：较活泼金

液

形成闭合回路 阳极：与电源正极相连

阴极：与电源负极相

名称同电解，但有限制条件

阳极：必须是镀层金属 阴极：镀件 金属(能导电非金属) 连

电极反应 负极：氧化反应，金属失去电子

阳极：氧化反应，溶阳极：金属电极失去电子 阴极：电镀液中阳离子得到电子

液中的阴离子失去电子，或

电极金属失电子

正极：还原反应，溶液中的阳离子的电氧腐蚀)

电子流向

负极→正极

电源负极→阴极 阴极：还原反应，溶子或者氧气得电子(吸液中的阳离子得到电子

同电解池

电源正极→阳极

溶液中带电粒子的移动 动

阴离子向负极移动

联系

在两极上都发生氧化反应和还原反应 阳离子向正极移

阳离子向阴极移动 阴离子向阳极移动

同电解池

☆☆原电池与电解池的极的得失电子联系图：

阳极(失) e- 正极(得) e- 负极(失) e- 阴极(得)

第四节 金属的电化学腐蚀和防护

一、金属的电化学腐蚀 (1)金属腐蚀内容：

(2)金属腐蚀的本质：都是金属原子 失去 电子而被氧化的过程

条件 现象 本质 关系 电化腐蚀

不纯金属或合金与电解质溶液接触 有微弱的电流产生

较活泼的金属被氧化的过程

化学腐蚀

金属与非电解质直接接触 无电流产生 金属被氧化的过程

化学腐蚀与电化腐蚀往往同时发生，但电化腐蚀更加普遍，危害更严重

(4)、电化学腐蚀的分类：

析氢腐蚀——腐蚀过程中不断有氢气放出

①条件：潮湿空气中形成的水膜,酸性较强(水膜中溶解有CO

2、SO

2、H2S等气体) ②电极反应：负极: Fe – 2e- = Fe2+ 正极: 2H+ + 2e- = H2 ↑

总式：Fe + 2H+ = Fe2+ + H2 ↑ 吸氧腐蚀——反应过程吸收氧气 ①条件：中性或弱酸性溶液

②电极反应：负极: 2Fe – 4e- = 2Fe2+ 正极: O2+4e- +2H2O = 4OH- 总式：2Fe + O2 +2H2O =2 Fe(OH)2 离子方程式：Fe2+ + 2OH- = Fe(OH)2 生成的 Fe(OH)2被空气中的O2氧化，生成 Fe(OH)3 ， Fe(OH)2 + O2 + 2H2O == 4Fe(OH)3 Fe(OH)3脱去一部分水就生成Fe2O3·x H2O(铁锈主要成分) 规律总结：

金属腐蚀快慢的规律：在同一电解质溶液中，金属腐蚀的快慢规律如下： 电解原理引起的腐蚀>原电池原理引起的腐蚀>化学腐蚀>有防腐措施的腐蚀

防腐措施由好到坏的顺序如下：

外接电源的阴极保护法>牺牲负极的正极保护法>有一般防腐条件的腐蚀>无防腐条件的腐蚀

二、金属的电化学防护

1、利用原电池原理进行金属的电化学防护

(1)、牺牲阳极的阴极保护法

原理：原电池反应中，负极被腐蚀，正极不变化

应用：在被保护的钢铁设备上装上若干锌块，腐蚀锌块保护钢铁设备

负极：锌块被腐蚀;正极：钢铁设备被保护

(2)、外加电流的阴极保护法

原理：通电，使钢铁设备上积累大量电子，使金属原电池反应产生的电流不能输送，从而防止金属被腐蚀

应用：把被保护的钢铁设备作为阴极，惰性电极作为辅助阳极，均存在于电解质溶液中，接上外加直流电源。通电后电子大量在钢铁设备上积累，抑制了钢铁失去电子的反应。

2、改变金属结构：把金属制成防腐的合金

3、把金属与腐蚀性试剂隔开：电镀、油漆、涂油脂、表面钝化等 (3)金属腐蚀的分类：

化学腐蚀— 金属和接触到的物质直接发生化学反应而引起的腐蚀

电化学腐蚀— 不纯的金属跟电解质溶液接触时，会发生原电池反应。比较活泼的金属失去电子而被氧化，这种腐蚀叫做电化学腐蚀。

第四篇：高中数学选修4-5：42数学归纳法证明不等式 学案

4.2数学归纳法证明不等式

【学习目标】

1. 会用数学归纳法证明贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN，了解当n n

为实数时贝努利不等式也成立

2. 培养使用数学归纳法证明不等式的基本技能

【自主学习】

1. 使用数学归纳法独立完成贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN的证n

明

2. 自我感悟什么样的不等式易于用数学归纳法证明?

3. 用数学归纳法证明不等式时要使用归纳假设进行放缩，如何放缩才能奏效，要积累经验，特别是出现二次式时要注意留心总结.4.对于两个数的大小的探究要提高警惕，一般探究要比较的丰富，才利于做出正确的猜测.

【自主检测】

1. 用数学归纳法证明1

12131*nnN,n1时，由n=k(k>1)时不等2n1

式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是()

A.2k1B. 2k1C. 2kD. 2k1

2. 用数学归纳法证明11n1n2111nN*时，由n=k到n=k+1时，不nn2

4等式左边应添加的项是____

3.当n=1，2，3，4，5，6

时，比较2n与n2后，你提出的猜想是____

【典型例题】

111例1. 用数学归纳法证明：nN,n1 111352n1

例2. 设数列an满足an1an2nan1nN*

1.a12时，求a2,a3,a4并由此猜想an的一个通项公式

2a13时，证明对所有n1有1ann2

2例3. 已知函数gxx22xx1,fxabaxbx，

其中a、bR,a1,b1,ab,ab4对于任意的正整数n，指出fn与g2n的大小关系，并证明之

x11 +1a11a211 1an

2【课堂检测】

1.设n为正整数，fn1nN ，计算知11231n

357f2,f42,f8,f163,f32，据此可以猜测得出一般性结论为 ()222

2n1n2n2 A. f2nB. fn2C. f2nD. 以上都不对 222

n0为验证的第一个值，2.欲用数学归纳法证明对于足够大的正整数n，总有2nn3，

则() A. n01B. n0为大于1小于10的某个整数C. n010D. n02

3.用数学归纳法证明111241127，n的起始值至少应取为n126

44.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n，点n,Sn均在函数

ybxr(b0,b1，b、r均为常数)的图像上.

(1)求r的值

(2)当b=2时，记bn2log2an1

nN*，证明对所有正整数n，不等式 b11b21b1b2bn1 bn

【总结提升】

1.数学归纳法依然是证明与正整数有关的不等式行之有效的方法.但在证明递推的依据是成立的时候常常需要放缩，故千万要注意不等式的基本性质和函数的单调性的作用.

2. 数学归纳法证明不等式时有时不能直接进行，常需加强命题，为此难度就比较大，且加强又不易完成.如证明1

为111223211222315nN*,n1，就可以加强2n3152nN*,n1再用数学归纳法. 2n32n1

3.不过关于n的不等式的证明不一定要用数学归纳法，有时使用函数的单调性就可以;放缩也是不可忽视的方法.

第五篇：高中数学选修2-2知识点总结

导数及其应用

一.导数概念的引入

数学选修2-2知识点总结

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是

limf(x0x)f(x0)x，

x0我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx，即

0f(x0)=limf(x0x)f(x0)xx0

例1. 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系

h(t)4.9t6.5t10

2

运动员在t=2s时的瞬时速度是多少?

解：根据定义

vh(2)limh(2x)h(2)xx013.1

即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下

2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)xnx0，当点Pn趋近于P时，函数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即

klimf(xn)f(x0)xnx0f(x0)

x03. 导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数. yf(x)的导函数有时也记作y,即

f(x)limf(xx)f(x)xx0

二.导数的计算

1.函数yf(x)c的导数 2.函数yf(x)x的导数 3.函数yf(x)x的导数 24.函数yf(x)1x的导数

基本初等函数的导数公式: 1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0; 2 若f(x)x,则f(x)x1; 3 若f(x)sinx,则f(x)cosx 4 若f(x)cosx,则f(x)sinx; 5 若f(x)ax,则f(x)axlna 6 若f(x)ex,则f(x)ex

x7 若f(x)loga,则f(x)1xlna1x

8 若f(x)lnx,则f(x)导数的运算法则

1. [f(x)g(x)]f(x)g(x)

2. [f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]23. []

复合函数求导

yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数 yf(g(x))g(x)

三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增; 如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数yf(x)的极值的方法是: (1) 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系. 求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数yf(x)在(a,b)内的极值;

(2) 将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明

考点一 合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.

考点三 数学归纳法

1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础;

B.假设在n=k时命题成立

C.证明n=k+1时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且nN)结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2. 分析法: 3. 综合法:

第一章 数系的扩充和复数的概念 考点一:复数的概念

(1) 复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数; b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二：复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则

z1z2(ac)(bd)i z1z2(acbd)(adbc)i

z1z2(acbd)(adbc)icd22(z20)

2,几个重要的结论

2222(1) |z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)

(2) zz|z|2|z|2 (3)若z为虚数,则|z|z 3.运算律

(1) zmznzmn;(2) (z)zmnmnnnn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR) 224.关于虚数单位i的一些固定结论：

(1)i1 (2)ii

(3)i1

(2)ii234nn2in3in40