数列与函数的联系

数列与函数的联系（精选12篇）

数列与函数的联系 第1篇

例1已知f (x) =x3-ax在 (-1, 0) 上是减函数。

(Ⅰ) 求a的取值范围;

(Ⅱ) 当a=3时, 定义数列 且-1

分析: (Ⅰ) 考查了用导数来处理单调性的问题; (Ⅱ) 的解决是以 (Ⅰ) 解决为前提的, 同时灵活使用-1

解: (Ⅰ) ∵f (x) =x3-ax在 (-1, 0) 上是减函数,

在 (-1, 0) 上f' (x) ≤0上恒成立即3x2-a≤0在 (-1, 0) 上恒成立∴a≥3x2在 (-1, 0) 上恒成立

又∵x∈ (-1, 0) , ∴3x2∈ (0, 3) ∴a≥3

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知当a=3时, f (x) =x3-3x在 (-1, 0) 是减函数

∵-1

即0

同理, -1

∴an+1

点评:导数与任何传统内容的牵手, 都给人耳目一新的感觉, 这种导数与函数、数列的交汇使数列的内容平添了新的灵气, 使函数内容焕发出新的活力。

例2已知函数f (x) =ln (2-x) +ax在区间 (0, 1) 上是增函数

(1) 求实数a的取值范围;

(2) 当a=1时, 若数列{an}满足a1∈ (0, 1) , an+1=l n (2-an) +an (n∈N*) ,

证明:0

(3) 若数列满足{bn}满足b1∈ (0, 1) , bn+1=2l n (2-bn) +bn (n∈N*) , 证明数列{bn}不单调。

分析:此题前两问与例1的解法、思路基本一致, 第3问则需巧妙地构造函数来解决, 又一次发挥出导数的威力。

解: (1) 由题意知f (x) =ln (2-x) +ax在区间 (0, 1) 上是增函数

∴f' (x) ≥0在 (0, 1) 上恒成立

即a的取值范围是a≥1

(2) 由 (1) 知当a=1时, f (x) =ln (2-x) +x在 (0, 1) 上是增函数

若a1∈ (0, 1) , an+1=l n (2-an) +an (n∈N*) , 则

a2=l n (2-a1) +a1

同理0

∴0

(3) 设g (x) =2ln (2-x) +x, x∈ (0, 2) , 则

∴g (x) 在 (0, 2) 上是减函数

又g (x) 在 (0, 1) 上是减函数

∴1=g (1)

即1

∵b1

∴数列{bn}不单调

10专题十数列极限与函数极限 第2篇

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

函数与导数、数列及三角 第3篇

1． 设集合M＝｛平面内的点（a，b）｝，N＝｛f（x）f（x）＝acos2x＋bsin2x，x∈R｝，给出从M到N的映射f：（a，b）→f（x）＝acos2x＋bsin2x，则点（1，）的象f（x）的最小正周期为（ ）

A． π B． C． D．

2． 设函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数l，使得对于任意x∈M（MD）都有f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数，l是一个高调值．

现给出下列命题：

①函数f（x）=为R上的高调函数；

②函数f（x）=sin2x为R上的高调函数；

③若函数f（x）=x2+2x为（－∞，1］上的高调函数，则高调值l的取值范围是（－∞，－4］．

其中正确的命题个数是（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

3． 已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1

①数列0，1，3，5，7具有性质P；

②数列0，2，4，6，8具有性质P；

③若数列A具有性质P，则a1=0；

④若数列a1，a2，a3，a4，a5（0≤a1

其中真命题有________．

4． 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2 km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．

（1）如图1，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；

（2）如图2，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

图1

图2

5． 对于定义域为D的函数y= f（x），如果存在区间［m，n］D，同时满足：

①f（x）在［m，n］内是单调函数；

②当定义域是［m，n］时， f（x）的值域也是［m，n］，则称［m，n］是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数y=g（x）=3－不存在“和谐区间”．

（2）已知：函数y=（a∈R，a≠0）有“和谐区间”［m，n］，当a变化时，求出n－m的最大值．

（3）易知，函数y=x是以任一区间［m，n］为它的“和谐区间”． 试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”． （不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=的函数为例）

6． 定义：对于任意n∈N，满足条件≤a且an≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列｛an｝称为T数列．

（1）若an=－n2（n∈N），证明：数列｛an｝是T数列．

（2）设数列｛bn｝的通项为bn=24n－3n，且数列｛bn｝是T数列，求M的取值范围．

（3）设数列cn=q－（n∈N），数列｛cn｝是否是T数列？请说明理由．

1． A．

2． ①对，l取小于0的数；②对，令l=kπ，k≠0；③对，由定义有（x+l）2+2（x+l）≥x2+2x，即2lx+l2+2l≥0在（－∞，1］上恒成立，所以l2+4l≥0且l<0，所以l∈（－∞，－4］，选D．

3． ①错，不满足任意这个关键点；②对，不管怎么取i，j，aj－ai总会是数列中的一项；③对，由定义，aj+a1与aj－a1两数中至少有一个是该数列中的一项，j为任意数，则a1=0；④对，a1=0，若a2+a3=a4，则a5－a2与a5－a3中，必有一项不在数列中，故a2+a3≠a4，同理a2+a3≠a5，所以由定义a3－a2=a2，即a1+a3=2a2．

4． （1）过S作SH⊥RT于H，S△RST=SH•RT．

由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；

RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时，上面两个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为S△RST=×4×2=4（km2）．

（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，连结CP，则有

S=×2×2×sinθ×2+×2×2×sin（π－2θ）=4（sinθ+sinθcosθ）0<θ<． 令y=sinθ+sinθcosθ，则y′=cosθ+cosθcosθ+sinθ（－sinθ）=2cos2θ+cosθ－1．

若y′=0，cosθ=，θ=，又θ∈0，时，y′>0，θ∈，时，y′<0，函数y=sinθ+sinθcosθ在θ=处取到极大值也是最大值，故θ=时，场地面积取得最大值为3（km2）．

5． （1）设［m，n］是已知函数定义域的子集．因为x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函数y=3－在［m，n］上单调递增．

若［m，n］是已知函数的“和谐区间”，则g（m）=m，g（n）=n，故m，n是方程3－=x的同号的相异实数根．

因为x2－3x+5=0无实数根，所以函数y=3－不存在“和谐区间”．

（2）设［m，n］是已知函数定义域的子集．因为x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函数y==－在［m，n］上单调递增．

若［m，n］是已知函数的“和谐区间”，则f（m）=m，f（n）=n，故m，n是方程－=x，即a2x2－（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．

因为mn=>0，所以m，n同号，只须Δ=a2（a+3）（a－1）>0，即a>1或a<－3． 已知函数有“和谐区间”［m，n］，因为n－m==，所以当a=3时，n－m取最大值．

（3）如：y=－x+2和谐区间为［0，2］，［－1，3］，当a+b=2的区间［a，b］；y=sinx和谐区间为［0，1］；y=和谐区间为［－1，0］．

6． （1）由an=－n2得an+an+2－2an+1= －n2－（n+2）2+2（n+1）2=－2<0，所以数列｛an｝满足≤an+1． an=－n2（n∈N）单调递减，所以当n=1时，an取得最大值－1，即an≤－1． 所以，数列｛an｝是T数列．

（2）由bn=24n－3n得bn+1－bn=24（n+1）－3n+1－24n+3n=24－2•3n，当24－2•3n≥0，即n≤2时，bn+1－bn>0，此时数列｛bn｝单调递增；而当n≥3时，bn+1－bn<0，此时数列｛bn｝单调递减；因此数列｛bn｝中的最大项是b3，所以，M的取值范围是M≥b3=45．

（3）假设数列｛cn｝是T数列，依题意有：cn+cn+2－2cn+1=+－=．

因为n∈N，所以当且仅当p小于n的最小值时，－cn+1≤0对任意n恒成立，即可得p<1．又当p<1时，n－p>0，cn=q－

数列与函数 第4篇

一、利用函数与方程思想解决数列问题

其核心就是构建函数和方程来解决数列的问题.

例1 (2010年浙江金华)等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,已知S6=2,S9=5,则S15=()

分析:先求首项与公差.设公差为d,则根据已知列方程组:解,,所以.故选(A).

点评:本题通过两个已知条件,列出了一个关于数列的首项和公差的方程组,求出首项和公差使问题得到解决.这个题目是一个“二元”问题.

例2已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()

分析:先求通项公式,由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33.所以d=-2,a1=39.故an=a4+(n-4)(-2)=41-2n,Sn=-n2+40n.这是一个关于n的二次函数,当n=20时,取得最大值.故选(B).

点评:本例先通过方程求出数列的通项公式,紧接着构建了数列的前n项和Sn关于n的函数,通过研究这个函数何时取最大值得到了问题的解答.函数思想不仅仅是使用函数的方法研究和解决函数的问题,更重要的是构建函数关系,用函数的方法,解决非函数问题.

二、利用函数思想方法解决递推数列问题

解决递推数列问题,实质上就是把函数关系用递推式给出,构建函数关系相当于将其转化为等差数列或等比数列来解决.

例3 (2010年湖北卷)已知数列{an}满足数列{bn}满足.求数列{an}、{bn}的通项公式.

点评:递推数列问题中构建函数关系就相当于对递推式进行变换,将其转化为等差数列或等比数列加以解决,这是转化思想在数列问题中的集中表现之一.解决数学问题就是把陌生的问题转化为熟悉的问题,把复杂的问题转化为简单的问题的不断转化的过程.

三、利用函数思想方法解决数列与函数、不等式的综合问题

例4 (2010年绵阳市)设数列{an}的各项均为正数,它的前n项和为Sn(n∈N*),已知点(an,4Sn)在函数f(x)=x2+2x+1的图象上.

(Ⅰ)证明{an}是等差数列,并求an;

(Ⅱ)设m,k,p∈N*,m+p=2k,求证:.

分析:(Ⅰ)先利用函数f(x)的关系.由两式相减得:,整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.因为an+

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,得Sm=m2,Sk=k2,Sp=p2,由于不能判定大小关系,采用差比法:.

数列与函数的联系 第5篇

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量

1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1.2011年高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin

x+bcos

x的常考内容.③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.高考二轮复习数学考点突破之数列

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题

浅谈数列的函数特征 第6篇

关键词：通项公式 求和公式 递推公式

我们知道，数列是特殊的函数，它是定义在正整数集 （或其有限子集）上的特殊函数，从而数列也具有函数的一般特点．因此，巧妙的利用数列的函数特点（比如解析式特点，图像特点，单调性特点），解决数列问题，将会得到奇妙的效果．

一、巧妙利用数列的通项公式的函数特点．

1、由等差数列的通项公式 知an 是n的一次（或常函数）函数，所以等差数列项的变化具有一次函数的特征。当 时，此数列是增数列，当 时，此数列是减数列，当 时，此数列是常数列。利用此单调性可求等差数列的前n项和最值。如

例1.已知等差数列 ， ,，求此数列前n项和 的最小值。

解析：由 得次数列单调递增，而 ，所以此数列从第9项开始为正值，所以此数列前8项和最小，且最小是 。

2、由等比数列的通项公式 （ 知an 是n的指数型函数，所以等比数列项的变化具有指数函数的特征。当 时，此数列是增数列（或减数列），当 时，此数列是减数列（或增数列），该数列项的变化具有指数函数的变化趋势。当 时，此数列是摆动数列。

例2.已知等比数列 ， ，求此数列的前5项，判断该数列从第几项开始小于0.001？

解析：由通项公式得 且该数列为递减数列，从第11项开始小于0.001.

3、由非等差非等比数列得通项公式得该数列的一些性质。如：

例3.已知数列 的通项公式 ，求数列 的最大项。

解析：由通项公式 知an 是n的二次函数，且开口向下，对称轴是 ，而n取正整数，所以n=2时，项最大。

例4.判断数列 的增减性。

解析：由题知通项公式 ，an 是n的反比例型函数。

，在 上增函数，所以该数列为增数列，但它的项比1小。

二、巧妙利用数列的求和公式的函数特点。

（1）由等差数列的求和公式 知an 是n的二次（或常函数）函数，所以等差数列前n项和的变化具有二次函数的特征。若 ，则 具有最小值，若 ，则 具有最大值。

例5.数列 是等差数列，

（1）从第几项起开始有

（2）求此数列前n项和的最大值。

解析：对于（1）实质上是解不等式，但注意 ，对于（2）实际上是研究 随n的变化规律，由于等差数列中 是关于n的二次函数，可以用二次函数的方法处理，也可由 得变化推测 的变化。

（2）由等比数列的求和公式得，当公比q=1时，因为 ，所以 ，它是n的正比例函数；当公比 时， ，设 ，则上式可写成 。由此可见，等比数列的前n项和 是关于n的一个指数式与一个常数且该常数与指数式的系数互为相反数。

例6.已知数列 的前n项和 ，那么数列（ ）

A一定是等差数列 B或是等差数列，或是等比数列

C一定是等比数列 D既不是等差数列，也不是等比数列

解析：由等比数列等比数列的前n项和公式特点得： 时是等比数列， 时 =0，数列为等差数列。

三、巧妙利用数列的递推公式的结构特征。

例7.（2011广东理20） 设b>0,数列 满足 ，．

（1）求数列 的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，

解析：观察递推公式 特点，式子右边分子与分母同时出现.且分子与分母同时出现项数n,而我们需要构造新数列 ，所以对递推公式两边同时求倒数会发现

左右两边有相似结构 .若把 看成 ，则 ，

①当 时，

②当 .

（2）当 时，（欲证 ,只需证 ）而

，

所以

例8.（2011全国大纲理20）

设数列 ，满足 且

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）设 ， 证明：

解析：观察递推公式是等差数列定义，（把 看成一个整体）

即 是公差为1的等差数列

所以 .而

，

参考文献：

《等差数列》中的函数思想 第7篇

等差数列是一种特殊的函数, 其属性也必然蕴含着函数思想, 在该节中也必有可用函数思想解决的例题、练习、习题.现就苏教版《高中数学必修5》中此处的内容将其拙列如下:

1.等差数列的通项公式是关于n的一次函数an=kn+b (k, b∈R)

课本37页的思考:“如果一个数列an=kn+b (k, b∈R) , 那么这个数列一定是等差数列吗?”可利用等差数列的定义证明之, 并可得出k+b为首项, k为公差.进而得出结论:“an是关于n的一次函数”是“数列{an}是等差数列”的充要条件.

有了一次函数an=kn+b (k, b∈R) 后在38页的习题2.2 (1) 中, 第3 (2) 题“已知a4=4, a8=-4, 求a12”可得出多种做法.

解法1 转化为基本量a1, d, 把a4=4, a8=-4带入an=a1 (n-1) d, 求a1, d.

解法2a8-a4=4d, 得出d.又a12=a8+4d, 即可求得.

解法3 令an=kn+b (k, b∈R) , a4=4k+b=4, a8=8k+b=-4, 解出k, b.又有a12=12k+b, 可得a13.

解法3就运用了an是关于n的一次函数, 方法虽没有体现出什么特别的优势但可让学生再次体会函数思想, 在头脑中不断加深印象.

2.等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数

推导出公式undefined后, 不难发现数列中a1, d已是定值, 在式undefined中只有n是变量, 所以可把Sn看作关于n的函数.undefined可变形为undefined, 这是关于n的二次函数且常数项是0.图像为过原点的抛物线上的点.如41页练习4, “在等差数列{an}中, 已知S8=100, S16=392, 求S24.”除基本方法外也可不必求a1, d, 所以可设Sn=An2+Bn, 将S8=100, S16=392代入其中求出A, B便可得.同样这种方法并不比基本方法简单多少, 但又一次强化函数思想, 学生定会留下深刻的印象:“Sn是关于n的二次函数.”

在以上基础上还可继续挖掘等差数列中有关题型的函数解法:

例1 已知等差数列{an}中, a1=-9, S3=S7, 问:前几项和最小?

分析 此题可由a1<0, S3=S7易知d>0, Sn关于n的函数是二次函数, 图像是开口向上的抛物线上的点, 点 (3, S3) , (7, S7) 关于对称轴n=5对称, 于是S5最小.这种方法不需要具体计算出d的值, 只需要判断出d>0, 也就是抛物线开口向上, 再找出抛物线的对称轴就可得解.由上题变式:

①已知等差数列{an}中, a1=-9, S3=S8, 问:前几项和最小?

②已知等差数列{an}中, S3=S8, 求S11.

③已知等差数列{an}中, Sp=Sq, 求Sp+q.

解 ①由a1=-9, S3=S8得抛物线开口向上, 对称轴是n=5.5, 又函数定义域为N*, 所以S5=S6最大.

②由S3=S8可判断抛物线的对称轴为n=5.5, 所以S0=S11, 又抛物线过原点所以S11=0.

故③同②, 对称轴为undefined, 而抛物线又过原点, 所以Sp+q=0.

例2 设等差数列{an}的前项n和为Sn, 已知.判断a3=12, S12>0, S13<0, 判断S1, S2, …S12中哪一个值最大并说明理由.

分析Sn是关于n的二次函数且对应的抛物线过原点, S12>0, S13<0, 可知图像上的点 (12, S12) 在轴n的上方, 点 (13, S13) 在n轴的下方, 则抛物线在区间 (12, 13) 内与n轴有一个交点, 其横坐标n∈ (12, 13) , 又对称轴undefined, 所以n0∈ (6, 6.5) , 有a3=12, S12>0, S13<0也易判断出抛物线开口向下, 那么跟对称轴距离越近的函数值就越大, 所以S6最大.

该题用其他方法计算量大比较麻烦.像分析中利用函数思想, 数形结合就可避免繁杂的计算, 解决起来也就非常方便了.这就体现了用函数思想解题的优势.

函数思想不仅仅在等差数列中作用很大, 它贯穿于整个高中阶段.“理解函数的一个重要方法就是在头脑中留住一批具体的函数模型”.这样才能实现对函数本质的理解, 才能灵活运用函数思想解决问题.在日常教学中要充分利用教材, 挖掘教材中蕴含的数学思想, 循序渐进地把这些思想渗透到学生的认知结构中.让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要, 在潜移默化中能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题, 从而培养学生的数学素养, 提高学生的综合能力.

摘要：函数思想在高中阶段是重要的数学思想, 它贯穿于整个高中数学课程.有些问题用函数思想解决要比用普通方法简单而且便于理解.在日常教学过程中应不断挖掘教材中蕴含的函数思想, 来帮助学生更深刻地理解函数概念, 体会函数思想.以便在解题中灵活运用函数思想, 提高解题速度节约解题时间.

函数思想在数列中的应用 第8篇

我们知道数列其实是一种特殊的函数, 只不过它的定义域是正整数集或它的有限子集而已, 当自变量从小到大取值时对应的一列函数值.而数列的通项公式、前n项和公式就是相应的函数解析式.

在平面直角坐标系中, 数列的图像是相应函数图像上一群孤立的点.因此, 如果把数列问题用函数的思想来解决, 不但可以节省很多时间, 少走弯路, 而且思路也十分畅通, 准确率也非常高, 这在高考中对考生来说是不无裨益的.

一、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系

undefined

当d≠0时, Sn是关于n的不含常数项的二次函数, 它的图像为过原点的抛物线上一群孤立的点.由这些特点, 可以解决很多问题.

例1 已知在等差数列{an}中, a1>0且S10=S15, 问n为何值时, Sn最大?

分析:由题意可知, Sn的图像如图1所示.它所在的抛物线开口向下, 且对称轴为

undefined又n∈N故n=12或13时, Sn最大.

例2 已知在等差数列{an}中, S10>0, S11<0, 问n为何值时, Sn最大?

分析:首先画出符合题意的Sn所在抛物线的图像, 如图2所示.设抛物线的对称轴为n0, 则抛物线与横轴正半轴的交点为2n0.

因为S10>0

S11<0

所以10<2n0<11

所以5

这说明抛物线的对称轴距5最近, 故n=5时, Sn最大.

例3 已知在等差数列{an}中, S9最大, 且S9>S10>S8, 求使Sn<0成立的最小正整数n的值.

分析:依题意画出Sn所在的抛物线, 如图3所示.设抛物线的对称轴为n0, 则抛物线与横轴正半轴的交点为2n.

因为S9>S10>S8

所以9

所以S18>0

S19<0

故所求n的值为19.

例4 已知Sn为等差数列前n项和, 且Sn=m, Sm=n, m≠n, 求Sm+n的值 (用m, n表示) .

分析:设Sn=An2+Bn (A≠0)

所以Sm=Am2+Bm=n (1)

Sn=An2+Bn=m (2)

(1) - (2) 得A (m2-n2) +B (m-n) =n-m

即 (m-n) [A (m+n) +B]=n-m

又m≠n.

所以A (m+n) +B=-1

而Sm+n=A (m+n) 2+B (m+n) = (m+n) [A (m+n) +B]

将A (m+n) +B=-1代入上式可得

Sm+n=- (m+n) .

评注:此题的解法巧妙的应用等差数列的求和公式与二次函数的内在关系, 思路畅通、一目了然, 避免了大量繁琐的运算, 令人耳目一新.

二、等差数列的通项公式与函数的关系

(1) 等差数列的通项公式与一次函数的关系an=a1+ (n-1) d=nd+a1-d

当d≠0时, an为n的一次函数关系, 它的图像是直线y=dx+a1-d上一群孤立的点.

(2) 等比数列的通项公式与指数函数的关系

undefined

当a1>0, q>0且q≠1时, an的图像为曲线undefined上一群孤立的点, 而曲线undefined是在指数函数y=qx图像的基础上纵向变换而得到, 它始终为凹函数.根据这些特点, 可以快速的解决很多问题.

例5 设{an}为正项等差数列, {bn}为正项等比数列, 且a1=b1, a2n+1=b2n+1, a1≠a2n+1, 试比较an+1与bn+1的大小.

分析:因为a1≠a2n+1且an>0, bn>0

所以它们均不为常数列, 且d>0, q>1

所以an为一次函数, bn为指数型函数, 所在的曲线为凹函数, 根据这些特征, 在同一坐标系下作出它们的图像, 如图4, 由图像不难看出

an+1>bn+1

例6 已知{an}为正项等比数列, 且公比q≠1, 试比较a1+a8与a4+a5的大小.

分析:因为{an}为正项等比数列

所以q>0, 又q≠1, 不妨设q>1, 则an的图像如图5所示

记A (1, a1) , B (8, a8) , C (4, a4) , D (5, a5)

则线段AB的中点undefined

线段CD的中点undefined

由图像不难看出, E点高于F点

所以undefined

即a1+a8>a4+a5.

对高中数学的数列函数的应用研究 第9篇

当公差d不等于0时，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项.当公比q>0且q不等于1时，等比数列的通项公式的形式为kqn，前n项和公式的形式为A-Aqn， (k, A为非零常数).

例1：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，已知S10=100, S100=10，求S110的值.

解：由于{an}是等差数列，因此数列的前n项和Sn=An2+Bn (A, B是常数).

根据条件可以得知，S10=102A+10B=100, S110=1002+100B=10，由后面的式子减去第一个式子得110A+B=-1.

评注：利用等差数列的前n项和是特殊的二次函数求解，避免了求解首项和公差时的繁琐运算，同时运用了整体处理的思想，使得解题过程简捷明了.

这道题还可以引申为，已知等差数列{an}且Sm=n, Sn=m.求Sn+m，如果我们运用函数思想，就可以很便捷地求出Sn+m=-(m+n).

二、运用函数的单调性解决数列问题

例2：已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+2，若对于任何自然数n，都有an+1>an成立，那么实数k的取值范围是多少?

分析：我们可以运用函数思想，把an看做是数n的二次函数，利用二次函数的单调性和对称性求解.

解：要使数列{an}对于任何的属于自然数的n都有an+1>an恒成立，那么数列{an}就是严格意义上的单调数列.

由于an=n2+kn+2是n的二次函数，其数学图像是开口向上的，其对称轴是-k/2，通过运用二次函数的图像很容易知道，在-k/2<1.5时，也就是k>-3时，数列{an}是严格单调的，所以k>-3.

评注：数列是特殊的函数，特殊之处在于它的定义域是自然数集或其子集，所以它的定义域是离散的，故它的单调性与决定其对应关系的函数的单调性之间不是充分必要的关系在本例中，如果要求相应的二次函数在x>1时单调增，则必须有-k/2<1，而要求数列单调增加，那么-k/2可以大于1，只要小于等于3/2就行.

例3：已知数列{an}，且其通项an=2n-1，问是否存在正数k使得对于任何的自然数n，不等式恒成立?

分析：假设存在这样的正数k，使得对于一切的自然数n，不等式恒成立，那么也就是说

对于任何的自然数n都是恒成立的.

必须满足,

我们可以构建一个函数, 运用函数的单调性求解最小值问题,

解:设,

由于,

因此，f (n)是单调增加的函数，

所以此函数的最小值是,

因此只要满足，那么不等式恒成立.

三、运用函数的图像解决数列问题

例4：某厂2006年的生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同.但由于厂房在改造建设，1月份投入的建设资金恰好与1月份的生产利润相等.投入的资金逐月增加，且每月投入的资金增加的百分率相同.又12月份投入的建设资金恰好与12月份的生产利润相同.问全年总利润M与全年总投入N的大小关系是什么?

分析：记n月份的利润为an，投入为bn，则依题意知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列.因此我们可以利用两种函数的图像比较ai与bi (1≤i≤12)的大小，进而可以得到全年总利润M与全年总投入N的大小关系.

解：我们设第一个月份的利润是an，由于每个月的增加的利润是相同的，因此，{an}是等差数列，我们可以假设an=kn+b， (k>0)，记第n个月的投入是bn，那么每个月的投入增加的百分率是p，那么数列{bn}是等比数列，等比是1+p，因此，bn=b1 (1+p) n+1=mq n, (m=b1/1+p, q=1+p>1) ,

我们在一个坐标系中作出函数y=kx+b，及y=mqx的图像，可以发现a1=b1, a12=b12,

通过函数图像, 可以知道ai>bi (i=2, 3, 4…11) , 因此, M=∑a1>∑bi=N,

所以得出关系M>N.

评注：这道题目采用了函数的图像，使得问题变得简洁明了，很容易解决.

四、结语

从以上可以看出，数列本身的函数形态要求运用函数观点解决数列问题，且解法新颖，简洁，技巧性强，学生易于学习和掌握.

参考文献

[1]刘高义.由一道考试题的教学所引起的思考[J].

从函数视角解数列 第10篇

一、利用函数的定义解数列

等差、等比数列作为两个特殊的数列, 其通项公式、求和公式与一次函数、二次函数、指数函数均有一定的联系。

1. 等差数列{an}

通项公式an=a1+ (n-1) d=dn+ (a1-d) , 它对应一次函数y=ax+b。

例1. (2010辽宁文数) 设Sn为等差数列an的前n项和, 若S3=3, S6=24则a9=______。

答案:15。

2. 等比数列{an}

例2. (2010全国卷1理数) 已知各项均为正数的等比数列an, a1a2a3=5, a7a8a9=10, 则a4a5a6=_____。

二、利用函数的性质解数列

函数性质是函数特征的显性反映, 利用函数的性质如单调性、最值性等解数列可以大大简化解题过程, 拓展解题思路。

1. 单调性

例3. (2010辽宁理数) 已知数列an满足a1=33, an+1-an=2n, 则ann的最小值为__________。

答案:21/2。

2. 最值性

例4. (2010福建理数) 设等差数列an的前n项和为Sn, 若a1=-11, a4+a6=-6, 则当Sn取最小值时, n等于

答案:A。

解析:设该数列的公差为d, 则a4+a6=2a1+8d=-6, 解得d=2, 所以Sn=-11n+×2=n2-12n= (n-6) 2-36, 建立函数f (n) = (n-6) 2-36, 根据函数的最值性, 当n=6时, f (n) =Sn取最小值。

三、利用函数的定理解数列

构造函数解决数列问题实质是把所求问题转化为函数问题, 再利用函数相关定理来帮助解决, 这样有利于培养学生数学思想方法与解题能力。

例5. (2010浙江理数) 设a1, d为实数, 首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn, 满足S5S6+15=0, 则d的取值范围是_______。

数列与函数的联系 第11篇

一、用函数观点认识数列

数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。

对于等差数列{an},它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数(特殊地,公差为0时是常数函数)图像上的离散点;当d≠0时,前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点(特殊地,当公差为0时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点)。对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。

二、用函数的方法解决数列问题

1.用函数观点研究数列前n项和问题

例1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn,且S10=100,S100=10试求S110。

分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为

当d≠0时,Sn是n的二次式,所以当d≠0时,可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此{}也是等差数列。

解:已知{}是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,

-110。

例2.已知数列{an}是等差数列,公差d≠0,a1>0,若SK=Sl(K≠1,K,L∈N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn取最值时,n的值。

分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求出SK+i的值和Sn取最值时n的值。

解:由题意知,可设{an}的前n项和,

其相应的二次函数f(n)=的图像的对称轴是,

所以,,

当k+l为偶数时,时,Sn取最大值,

当k+l为奇数时,时,Sn取最小值。

2.用函数观点研究数列的单调性与最值问题

单调性和最大(小)值是数列教学的重要内容,分析和解决这一类问题,更需要利用函数的思想方法。大部分学生在理解和接受上有一定障碍,因此在教学中一定要循序渐进,不断渗透。

由于数列自变量n的取值为自然数,自然数本身是有序的,因此数列单调性的确定与实数集上的函数合乎单调性的确定虽然在实质上是一致的,但也有一定区别,只需对任意的自然数n,确定相邻两项an与an+1的大小即可。

例3.已知an=中的最大项和最小项。

分析:此题直接求an最值很困难,可联系到函数,利用f(x)图像的单调性则可直观顺利地解决本例。

解:因为 ,

而上是减函数,又因为,{an}是f(x)图像上的一些孤立点,所以,a8、a9分别是{an}的最小项和最大项。

例4.已知数列{an},,若恒成立,求实数a的取值范围。

解:因为,-()

所以,是递增数列,

所以,的最小值是 ,

由题意知:,所以,即为所求的a的取值范围。

3.用函数观点研究数列的周期

函数的周期性是函数的一种重要性质,对于任意的定义域),如果存在一个非零常数T,恒有,则称T为f(x)的一个周期,f(x)也就是以T为周期的周期函数。同样对数列{an}来说,如果对于任意自然数n,存在一个常数),恒有,则称{an}是以T为周期的周期数列。

例5.设数列{an}中,,且对,=,()成立,试求该数列前100项和S100。

分析:从递推式不易求出通项,观察前若干项a1=1,a2=1,a3=2,a4=4,a5=1,a6=1,a7=2,a8=4,a9=1,…可猜想它是以4为周期的周期数列。

解:由已知条件,对任何自然数N,

=,

=。

两式相减得:

因为an+1+an+2+an+3≠1,所以,an+4=an(n∈N)

所以,{an}是以4为周期数列,

又a1+a2+a3+a4=8,所以,s100=25×8=200。

数列作为一种特殊的函数,与函数思想密不可分,而现行教材中对于函数思想在数列中的应用涉及较少,但这一点对于加深学生对数列的认识,提高学生分析问题、解决问题的能力是十分重要的。

基于母函数的递推数列求解方法 第12篇

母函数是组合数学中的一个重要内容, 它是求解递归关系的一种有效工具.将母函数的部分简单理论合理的运用于高中数列的教学中, 不仅有效的解决了递推数列的求解问题, 而且能够激发学生的思维, 扩展知识面.

1 母函数及相关引理

定义1 对于数列a0, a1, a2, a3, …, an, …, 构造函数G (x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…, 则称G (x) 为数列a0, a1, a2, a3, …, an, …的母函数.

引理1 设$\frac{{\rm P}(x)}{R(x)}$是有理分式, 多项式P (x) 的次方低于R (x) 的次方, 则$\frac{{\rm P}(x)}{R(x)}$可化为部分分式来表示, 且表示是唯一的[6].

例如:$\frac{5-18x+18x{}^2}{(1+2x)(1-3x){}^2}=\frac{A}{(1+2x)}+\frac{B}{(1-3x)}+\frac{C}{(1-3x){}^2}$, 且$A=\frac{74}{25}‚B=\frac{36}{25}‚C=\frac{3}{5}$唯一表示.

引理2 分式$\frac{{\rm M}{}_{ij}}{(1-a{}_{i}x){}^j}$根据二项式展开可写成为下面形式[7]:

$\frac{{\rm M}{}_{ij}}{(1-a{}_{i}x){}^j}={\rm M}\left(1+\frac{j}{1}a{}_{i}x+\frac{j(j+1)}{2!}a{}_i^{2}x{}^2+\cdots +\frac{j(j+1)\cdots (j+n-1)}{n!}a{}_i^{n}x{}^n+\cdots \right).$

一个数列和它的母函数是一一对应的, 给定一个数列便可求得母函数;反之, 知道母函数其数列也随之确定.因此递推数列求通项的问题就可借助该数列的母函数来求解.根据母函数的构造方法, 显然, 数列an的通项即为母函数G (x) 中项xn的系数.

2 解法的普遍适用性论证

定理1 若有一数列{an}, 并且满足递推关系c0an+c1an-1+c2an-2+…+ckan-k=0, ci (i=1, …, k) 为常数, 且ck≠0, c0=1, 则数列可通过母函数的方法求解.

证明 构造{an}的母函数

G (x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…,

建立联系, 不妨对递推关系进行如下处理:

……

c0anxn+c1an-1xn+c2an-2xn+…+ckan-kxn=0,

c0an-1xn-1+c1an-2xn-1+c2an-3xn-1+…+ckan-k-1xn-1=0,

c0an-2xn-2+c1an-3xn-2+c2an-4xn-2+…+ckan-k-2xn-2=0,

……

c0akxk+c1ak-1xk+c2ak-2xk+…+cka0xk=0.

将等式左右分别相加可得

$c{}_0(G(x)-{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}a}{}_{i}x{}^i)+c{}_{1}x(G(x)-{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-2}a}{}_{i}x{}^i)+c{}_{2}x{}^2(G(x)-{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-3}a}{}_{i}x{}^i)+\cdots +c{}_{k}x{}^{k}G(x)=0.$

化简整理得

$G(x)=\frac{{\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}c}{}_{j}x{}^j{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-j-1}a}{}_{i}x{}^i}{{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}c}{}_{i}x{}^i}.$

令$A={\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}c}{}_{j}x{}^j{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-j-1}a}{}_{i}x{}^i‚B={\displaystyle \sum _{i=0}^{k}c}{}_{i}x{}^i$, 显然A是关于x的多项式, 且次数不会超过k-1, 而B为x的k次多项式.根据引理1, 不妨设

$G(x)=\frac{{\rm M}{}_{11}}{1-\lambda {}_{1}x}+\cdots +\frac{{\rm M}{}_{1k{}_1}}{(1-\lambda {}_{1}x){}^{k{}_1}}+\cdots +\frac{{\rm M}{}_{r1}}{1-\lambda {}_{r}x}+\cdots +\frac{{\rm M}{}_{rk{}_r}}{(1-\lambda {}_{r}x){}^{k{}_r}}.$

由二项式定理和引理2可得

$G(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^r{\displaystyle \sum _{j=1}^{k{}_i}\frac{{\rm M}{}_{ij}}{(1-\lambda {}_{i}x){}^j}}}‚\frac{1}{(1-\lambda {}_{i}x){}^j}=1+\frac{j}{1}\lambda {}_{i}x+\frac{j(j+1)}{2!}\lambda {}_i^{2}x{}^2+\cdots +\frac{j(j+1)\cdots (j+n-1)}{n!}\lambda {}_i^{n}x{}^n\cdots .$

因而$\frac{{\rm M}{}_{ij}}{(1-\lambda {}_{i}x){}^j}$展开式中xn的系数为${\rm M}{}_{ij}\frac{j(j+1)\cdots (j+n-1)}{n!}\lambda {}_i^n$, 即G (x) 中xn的系数为

$a{}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^r{\displaystyle \sum _{j=1}^{k{}_i}{\rm M}}}{}_{ij}\frac{j(j+1)\cdots (j+n-1)}{n!}\lambda {}_i^n.$

从而得到了递推数列的通项公式an.

3 实例分析

以上定理充分说明了用母函数求解递推数列通项的普遍适用性, 下举例说明递推数列求通项的具体操作过程.

例1 已知数列{an}中, an-an-1+6an-2=5·4n, a0=5, a1=3, 求an.

解 设母函数G (x) =a0+a1x+a2x2+a3x3…, 则根据递推式得

G (x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+…,

-xG (x) = -a0x-a1x2-a2x3-…,

6x2G (x) = 6a0x2+6a1x3+….

等式左右两边分别相加得

G (x) (1-x+6x2) =a0+ (a1-a0) x+ (a2-a1+6a0) x2+ (a3-a2+6a1) x3+….

因为an-an-1+6an-2=5·4n, 所以简化为$G(x)=\frac{5-22x+88x{}^2}{(1-3x)(1+2x)(1-4x)}.$

据引理1, 令$G(x)=\frac{{\rm M}{}_{11}}{(1+2x)}+\frac{{\rm M}{}_{21}}{(1-3x)}+\frac{{\rm M}{}_{31}}{(1-4x)}$, 再根据引理2展开得

M11 (1-3x) (1-4x) +M21 (1+2x) (1-4x) +M31 (1+2x) (1-3x)

=M11 (1-7x+12x2) +M21 (1-2x-8x2) +M31 (1-x-6x2)

=5-22x+88x2.

因而比较系数得关于M11, M12, M13的联立方程组

$\{\begin{array}{l}{\rm M}{}_{11}+{\rm M}{}_{12}+{\rm M}{}_{13}=5‚\\ 7{\rm M}{}_{11}+2{\rm M}{}_{12}+{\rm M}{}_{13}=22‚\\ 12{\rm M}{}_{11}-8{\rm M}{}_{12}-6{\rm M}{}_{13}=88.\end{array}$

解方程组得${\rm M}{}_{11}=\frac{74}{25}‚{\rm M}{}_{12}=-\frac{67}{25}‚{\rm M}{}_{13}=\frac{40}{3}.$

根据母函数G (x) 的定义可知xn的系数即为an, 且

$a{}^n={\rm M}{}_{11}\text{C}{}_n^n\lambda {}_1^n+{\rm M}{}_{12}\text{C}{}_{n+1}^n\lambda {}_2^n+{\rm M}{}_{13}\text{C}{}_{n+2}^n\lambda {}_3^n=\frac{74}{25}\cdot (-2){}^n-\frac{67}{25}\cdot (3){}^n+\frac{40}{3}\cdot 4{}^n.$

例2 已知Sn=1+23+33+…+n3, 求Sn.

解 依题可知

Sn-Sn-1=n3, (1)

Sn-1-Sn-2=n3-3n2+3n-1. (2)

(1) - (2) 得

Sn-2Sn-1+Sn-2=3n2-3n+1, (3)

Sn-1-2Sn-2+Sn-3=3 (n-1) 2-3 (n-1) +1=3n2-9n+9. (4)

(3) - (4) 得

Sn-3Sn-1+3Sn-2-Sn-3=6n-8, (5)

Sn-1-3Sn-2+3Sn-3-Sn-4=6 (n-1) -8=6n-14. (6)

(5) - (6) 得

Sn-4Sn-1+6Sn-2-4Sn-3+Sn-4=6, (7)

Sn-1-4Sn-2+6Sn-3-4Sn-4+Sn-5=6. (8)

(7) - (8) 得

Sn-5Sn-1+10Sn-2-10Sn-3+5Sn-4-Sn-5=0. (9)

据 (9) 可得

S1=1, S2=9, S3=36, S4=100, S5=225.

因而这样变成了标准的“递推数列求通项”问题.

设母函数

G (x) =S1x+S2x2+S3x3++S4x4++S5x5++S6x6+…,

-5xG (x) = -5S1x2-5S2x3-5S3x4-5S4x5-5S5x6+…,

10x2G (x) = 10S1x3+10S2x4+10S3x5+10S4x6+…,

-10x3G (x) = -10S1x4-10S2x5-10S3x6+…,

5x4G (x) = 5S1x5+5S2x6+…,

-x5G (x) = -S1x6+….

等式左右两边相加得

G (x) (1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)

=S1x+ (S2-5S1) x2+ (S3-5S2+10S1) x3+ (S4-5S3+10S2-10S1) x4

+ (S5-5S4+10S3-10S2+5S1) x5+ (S6-5S5+10S4-10S3+5S2-S1) x6+…

据 (9) 可得x的6次以上的系数全为0.

又S1, S2, S3, S4, S5已知, 因而可解得

$G(x)=\frac{x+4x{}^2+x{}^3-15x{}^4-x{}^5}{(1-x){}^6}.$

根据引理2可得

Sn=A1C${}_n^1$+A2C${}_n^2$+A3C${}_n^3$+A4C${}_n^4$.

所以

S1=1=A1,

S2=13+23=9=C${}_2^1$+A2, A2=7,

S3=9+33=36=1·3+7C${}_3^2$+A3, A3=12,

S4=36+43=100=1·4+7·6+12·4+A4, A4=6,

从而得到

Sn=C${}_n^1$+7C${}_n^2$+12C${}_n^3$+6C${}_n^4$.

4 方法总结

以上两道例题充分展示了母函数在递推数列求通项中的一般操作步骤, 其中例2是数列的综合性应用问题.其求解的总体思路归结如下:

1) 对数列的母函数进行处理, 目的是让母函数与递推关系建立联系 (通常利用错位叠加的方式寻求母函数与递推关系之间的联系) ;

2) 利用递推关系将母函数进行整理, 从中得到母函数G (x) 的表达式, 其结果为分母次数高于分子次数的分式多项式;

3) 将多项式利用引理1拆分成为分子为常数的小分式的和;

4) 利用引理2将各分式展开, 从中找出an的系数.此系数即为数列an的通项.

母函数作为一种高等工具, 应用在初等的数列题型中, 具有很好的解题功效, 可拓展高中学生的视野, 开拓高中学生解决问题的思路, 也为参加数学竞赛的学生提供一种新思想.

参考文献

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[4]王桂莲.导数在数列求和中的应用[J].数学教学研究, 2005, (6) .

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[6]张禾瑞, 郝鈵新.高等代数 (第5版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.