与导数分担有理函数的整函数

与导数分担有理函数的整函数（精选13篇）

与导数分担有理函数的整函数 第1篇

与导数分担有理函数的整函数

主要证明了以下定理:设f是超越整函数,R是非常数有理函数,k、m是两个不同的正整数,d=(k,m)是k、m的最大公约数.若f,f(k)f(m)CM分担R,那么f=f(d).

作 者：朱颖中 常建明 Zhu Yingzhong Chang Jianming  作者单位：朱颖中,Zhu Yingzhong(江苏大学理学院,江苏,镇江,21)

常建明,Chang Jianming(常熟理工学院数学系,江苏,常熟,215500)

刊 名：南京师大学报(自然科学版)  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 31(3) 分类号：O174.52 关键词：整函数   有理函数   惟一性  

与导数分担有理函数的整函数 第2篇

函数与导数综合问题

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2013年第06期

函数与数列、导数的交汇 第3篇

例1已知f (x) =x3-ax在 (-1, 0) 上是减函数。

(Ⅰ) 求a的取值范围;

(Ⅱ) 当a=3时, 定义数列 且-1

分析: (Ⅰ) 考查了用导数来处理单调性的问题; (Ⅱ) 的解决是以 (Ⅰ) 解决为前提的, 同时灵活使用-1

解: (Ⅰ) ∵f (x) =x3-ax在 (-1, 0) 上是减函数,

在 (-1, 0) 上f' (x) ≤0上恒成立即3x2-a≤0在 (-1, 0) 上恒成立∴a≥3x2在 (-1, 0) 上恒成立

又∵x∈ (-1, 0) , ∴3x2∈ (0, 3) ∴a≥3

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知当a=3时, f (x) =x3-3x在 (-1, 0) 是减函数

∵-1

即0

同理, -1

∴an+1

点评:导数与任何传统内容的牵手, 都给人耳目一新的感觉, 这种导数与函数、数列的交汇使数列的内容平添了新的灵气, 使函数内容焕发出新的活力。

例2已知函数f (x) =ln (2-x) +ax在区间 (0, 1) 上是增函数

(1) 求实数a的取值范围;

(2) 当a=1时, 若数列{an}满足a1∈ (0, 1) , an+1=l n (2-an) +an (n∈N*) ,

证明:0

(3) 若数列满足{bn}满足b1∈ (0, 1) , bn+1=2l n (2-bn) +bn (n∈N*) , 证明数列{bn}不单调。

分析:此题前两问与例1的解法、思路基本一致, 第3问则需巧妙地构造函数来解决, 又一次发挥出导数的威力。

解: (1) 由题意知f (x) =ln (2-x) +ax在区间 (0, 1) 上是增函数

∴f' (x) ≥0在 (0, 1) 上恒成立

即a的取值范围是a≥1

(2) 由 (1) 知当a=1时, f (x) =ln (2-x) +x在 (0, 1) 上是增函数

若a1∈ (0, 1) , an+1=l n (2-an) +an (n∈N*) , 则

a2=l n (2-a1) +a1

同理0

∴0

(3) 设g (x) =2ln (2-x) +x, x∈ (0, 2) , 则

∴g (x) 在 (0, 2) 上是减函数

又g (x) 在 (0, 1) 上是减函数

∴1=g (1)

即1

∵b1

∴数列{bn}不单调

函数与导数 第4篇

1. 函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域、值域（最值）、图象、单调性、奇偶性、周期性等.

例1 函数[f(x)=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)]的定义域为（ ）

A. [(-∞,-4]⋃[2,+∞)] B. [(-4,0)⋃(0,1)]

C. [[-4,0)⋃(0,1]] D. [[-4,0)⋃(0,1)]

解析 函数的定义域必须满足条件

[x≠0,x2-3x+2≥0,-x2-3x+4≥0,x2-3x+2+-x2-3x+4>0,⇒x∈[-4,0)⋃(0,1).]

故答案为D.

点拨 本题要把四个约束条件列出，在最后解不等式的时候要求思维缜密，否则会出现漏掉4这个根的情况.

例2 设函数[f(x)=x-1x]．对任意[x∈1,+∞]，[f(mx)+mf(x)<0]恒成立，则实数[m]的取值范围是 .

解析 显然[m≠0]，由于函数[f(x)=x-1x]对[x∈1,+∞]是增函数，

则当[m>0]时，[f(mx)+mf(x)<0]不恒成立，因此[m<0]．

当[m<0]时，函数[h(x)=f(mx)+mf(x)]在[x∈1,+∞]是减函数，

因此当[x=1]时，[h(x)]取得最大值[h(1)=m-1m]，

于是[h(x)=f(mx)+mf(x)<0]恒成立等价于[h(x)(x∈1,+∞)]的最大值小于[0]，

即[h(1)=m-1m<0]，解[m-1m<0m<0]得[m<-1]．

于是实数[m]的取值范围是[(-∞,-1)]．

点评 值域或最值问题的考查多以恒成立的形式出现，难度较高．把恒成立问题转化为最值问题是解决这类问题的核心思想，也是高中数学的重要转化思想之一，同学们在二轮复习中还需多加练习．

例3 定义在[R]上的函数[y=f(x)]是减函数，且函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，若[s、t]满足不等式[f(s2-2s)≤-f(2t-t2)]，则当[1≤s≤4]时，[ts]的取值范围是（ ）[来源:Zxxk. Com]

A. [-14,1] B. [-14,1]

C. [-12,1] D. [-12,1]

解析 因为[y=f(x)]的图象可由函数[y=f(x-1)]的图象向左平移一个单位得到，又因函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，所以[y=f(x)]的图象关于（0,0）成中心对称，即[y=f(x)]是奇函数.

[∵][y=f(x)]是减函数，[y=f(x)]是奇函数，

[∴][f(s2-2s)≤-f(2t-t2)][⇒][s2-2s≥t2-2t].

令[g(x)=x2-2x]，则[g(s)≥g(t)]，又[1≤s≤4,]

结合[g(x)=x2-2x]的图象可知[2-s≤t≤s].

原问题转化为[1≤s≤4,2-s≤t≤s,]求[ts]的取值范围. 由线性规划知识可知，答案为D.

点拨 由条件“函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称”推出[y=f(x)]是奇函数是一个难点. 同学们在二轮复习中要多揣摩平移在其中的应用. 另外，利用二次函数的图象得到[s、t]的关系，转化为线性规划问题体现了数形结合思想在解函数题中的重要性.

例4 若实数[a、b、c]满足[2a+2b=2a+b,][2a+2b+][2c=2a+b+c,]则[c]的最大值是 .

解析 令[x=2a]，[y=2b]，则[x+y=xy]，由均值不等式[xy=x+y≥2xy]知，[xy≥4]（当且仅当[x=y]时等号成立）.

由[2a+2b+2c=2a+b+c,]

得[2c=2a+2b2a+b-1=x+yxy-1=xyxy-1=1+1xy-1]，

又有[xy≥4]，所以[1<2c≤43]，

即可得[c]的最大值为[2-log23.]

点拨 解题的关键是对指数式[2a]和[2b]进行换元和用已知变量表示未知变量. 而不能自觉地利用换元和利用函数求最值的思想，不能使用均值不等式等，是本题出错的主要原因.

2. 函数模型及其应用、函数的零点定理

例5 函数[f(x)=sinx-lgx]的零点的个数是 .

解析 问题转化为[y=sinx]和[y=lgx]图象的交点个数.

点拨 若展开直接求解，问题将复杂化. 化零点个数为图象交点个数，转化为我们熟悉的函数图象进行解答. 当然，有关零点的存在性问题及个数问题的研究方案很多，如单调性法、换元法等.

例6 如图，矩形[ABCD]内接于由函数[y=x、][y=1-x、y=0]图象围成的封闭图形，其中顶点[C、D]在[y=0]上，求矩形[ABCD]面积的最大值.

解 设[A]点坐标为[(x,x)],[x∈(0,3-52)],则[B(1-x,x)]，由图可得[1-x>x].

记矩形[ABCD]的面积为[S]，易得

[S=AB⋅AD=(1-x-x)x=-(x)3-(x)2+x.]

令[t=x,t∈(0,5-12)]，得[S=-t3-t2+t.]

所以[S′=-3t2-2t+1=-(3t-1)(t+1)]，

令[S′=0]，得[t=13或t=-1].

因为[t∈(0,5-12)]，所以[t=13].

[S′、S]随[t]的变化情况如下表：

由上表可知，当[t=13]，即[x=19]时， [S]取得最大值为[527]，所以矩形[ABCD]面积的最大值为[527].

点拨 正确建立函数模型并应用模型解决最优化问题是高考中不可忽视的重点. 本题主要是帮助大家经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.

3. 导数的几何意义与导数对函数性质的刻画，以及以此为主要手段的不等式的证明、参数范围的讨论、实际应用等问题

例7 在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[P]是函数[f(x)=ex(x>0)]的图象上的动点，该图象在[P]处的切线[l]交[y]轴于点[M]，过点[P]作[l]的垂线交[y]轴于点[N]，设线段[MN]的中点的纵坐标为[t]，则[t]的最大值是 .

解析 设[P(x0,ex0),]则[l:y-ex0=ex0(x-x0),]

[∴M(0,(1-x0)ex0).]

过点[P]作[l]的垂线[y-ex0=-e-x0(x-x0),]

[∴N(0,ex0+x0e-x0).]

[∴t=12[(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+12x0(e-x0-ex0),]

[t=12(ex0+e-x0)(1-x0),]

所以[t]在[(0,1)]上单调递增、在[(1,+∞)]单调递减，

[∴x0=1时,tmax=12(e+1e).]

点拨 导数的考点之一是导数的几何意义——切线的斜率，相应的，过图象上点[(x0,y0)]切线公式[y-y0=f(x0)(x-x0)]要能熟练应用. 现在高考题对导数考查的难度越来越大，一题出现多处求导很常见，要求大家真正做到把导数作为解决切线问题、单调性极值问题、最值问题的常用方法.

例8 函数[f(x)=axm⋅(1-x)n]在区间〔0,1〕上的图象如图所示，则[m、n]的值可能是（ ）

A. [m=1,n=1] B. [m=1,n=2]

C. [m=2,n=1] D. [m=3,n=1]

解析 代入验证.

当[m=1,n=2]，[f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)]，

则[f(x)=a(3x2-4x+1)]，由[f(x)=a(3x2-4x+1)][=0]可知[x1=13, x2=1]，结合图象可知，函数应在[(0,13)]上递增，在[(13,1)]上递减，即在[x=13]取得最大值，由[f(13)=a×13⋅(1-13)2=12]，知[a]存在. 故选B.

点拨 极值与单调性是导数的第二个应用，本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图象. 当然，题干中的“可能是”意味着代入检验是此题作为选择题的解题方案，极值的位置是检验的标准. 明确每个题目的考点，做到“小题小做”，是同学们在二轮复习中要不断加强的考试技巧.

例9 已知函数[f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0).]

（Ⅰ）若函数[f(x)]在定义域内单调递增，求[a]的取值范围；

（Ⅱ）若[a=-12]且关于[x]的方程[f(x)-12x+b]在[[1,4]]上恰有两个不相等的实数根，求实数[b]的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正的数列[{an}]满足：[a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*.]求证：[an≤2n-1].

解 （Ⅰ）[f(x)=-ax2+2x-1x(x>0).]

依题意[f(x)≥0]在[x>0]时恒成立，即[ax2+2x-1≤0]在[x>0]恒成立.

则[a≤1-2xx2=(1x-1)2-1]在[x>0]恒成立，即[a≤((1x-1)2-1)min][(x>0).]

当[x=1]时，[(1x-1)2-1]取最小值[-1,]

∴[a]的取值范围是[(-∞,-1].]

（Ⅱ）[a=-12,f(x)-12x+b⇔14x2-32x+lnx-b=0.]

设[g(x)=14x2-32x+lnx-b(x>0).]

则[g(x)=(x-2)(x-1)2x.]列表：

∴[g(x)]极小值[=g(2)=ln2-b-2]，

[g(x)]极大值[=g(1)=-b-54]，又[g(4)=2ln2-b-2,]

[∵]方程[g(x)]=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.

则[g(1)≥0,g(2)<0,g(4)≥0,]得[ln2-2

（Ⅲ）设[h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞)]，则[h(x)=][1x-1≤0,]

[∴h(x)]在[[1,+∞)]为减函数，且[h(x)max=h(1)=0,]故当[x≥1]时有[lnx≤x-1.]

[∵a1=1.]假设[ak≥1(k∈N*),]

则[ak+1=lnak+ak+2>1,]故[an≥1(n∈N*),]

从而[an+1=lnan+an+2≤2an+1.]

[∴1+an+1≤2(1+an)≤⋯≤2n(1+a1).]

即[1+an≤2n]，∴[an≤2n-1.]

点拨 本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与实根分布等基础知识，考查化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力．本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问利用函数的单调性画出大致的图像，得到实根分布的充要条件；第三问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩，如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的．本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题．

【专题训练一】

1. 设直线[x=t]与函数[f(x)=x2、g(x）=lnx]的图象分别交于点[M、N]，则当[|MN|]达到最小时[t]的值为（ ）

A. 1 B. [12] C. [52] D. [22]

2. 从如图所示的正方形[OABC]区域内任取一个点[M(x,y)]，则点[M]取自阴影部分的概率为( )

A. [12] B. [13] C. [14] D. [16]

3. 设偶函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(x+3)][=-1f(x)]，且当[x∈[-3,-2]]时，[f(x)=4x]，则[f(107.5)]=( )

A. 10 B. [110] C. -10 D. [-110]

4. 函数[y=f(x)]是函数[y=f(x)]的导函数，且函数[y=f(x)]在点[P(x0,f(x0))]处的切线为[l:y=g(x)][=f(x0)(x-x0)+f(x0),][F(x)=f(x)-g(x)]，如果函数[y=f(x)]在区间[[a,b]]上的图象如图所示，且[a

A. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极大值点

B. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极小值点

C. [F(x0)≠0,x=x0]不是[F(x)]极值点

D. [F(x0)≠0,x=x0]是[F(x)]极值点

5. 已知函数[f(x)]的导函数为[f(x)]，且满足[f(x)=][2xf(1)+lnx]，则[f(1)=]（ ）

A. [-e] B. -1 C. 1 D. [e]

6. 设[0

A. [(-∞,0)]B. [(0,+∞)]

C. [(-∞,loga3)]D. [(loga3,+∞)]

7. 设[a、b、c]为实数，[f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)]，[g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)]. 记集合[S＝{x|f(x)＝0,][x∈R}]，[T＝{x|g(x)＝0，x∈R}]. 若[|S|、|T|]分别为集合[S、T]的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）

A. [|S|＝1且|T|＝0] B. [|S|＝1且|T|＝1]

C. [|S|＝2且|T|＝2] D. [|S|＝2且|T|＝3]

8. 已知函数[f(x)=ex+alnx]的定义域是[D]，关于函数[f(x)]给出下列命题：①对于任意[a∈(0,+∞)]，函数[f(x)]是[D]上的减函数；②对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]存在最小值；③对于任意[a∈(0,+∞)]，使得对于任意的[x∈D]，都有[f(x)>0]成立；④对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]有两个零点. 其中正确命题有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 已知R上可导函数[f(x)]的图象如图所示，则不等式[(x2-2x-3)f(x)>0]的解集为（ ）

A. [(-∞,-2)⋃(1,+∞)]

B. [(-∞,-2)⋃(1,2)]

C. [(-∞,-1)⋃(-1,0)⋃(2,+∞)]

D. [(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(3,+∞)]

10. 已知函数[f(x)=2x-1(x≤0),f(x-1)+1(x>0),]把函数[g(x)=f(x)-x]的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）

A. [an=n(n-1)2(n∈N*)]

B. [an=n(n-1)(n∈N*)]

C. [an=n-1(n∈N*)]

D. [an=2n-2(n∈N*)]

11. 已知[F(x)=f(x+12)-1]是R上的奇函数，[an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n-1n)+f(1)(n∈N*),]则数列[{an}]的通项公式为 .

12. 已知点[P]是第一象限内曲线[y=-x3+1]上的一个动点，点[P]处的切线与两个坐标轴交于[A、B]两点,则[△AOB]的面积的最小值为 .

13. 已知函数[f(x)=log2x]，正实数[m、n]满足[m

14. 已知直线[y=x+1]与曲线[y=ln(x+a)]相切，则[a]的值为 .

15. 有下列命题：

①若[f(x)]存在导函数，则[f(2x)=[f(2x)];]

②若函数[h(x)=cos4x-sin4x,则h(π12)=[f(2x)];]

③若函数[g(x)=(x-1)(x-2)⋯(x-2009)][(x-2010)]，则[g(2010)=2009!;]

④若三次函数[f(x)=ax3+bx2+cx+d,]则“[a+b+c=0]”是“[f(x)]有极值点”的充要条件.

其中真命题的序号是 .

16. 设[f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)].

（Ⅰ）求[f(x)]的单调区间与极值；

（Ⅱ）求方程[f(x)=0]的实数解的个数.

17. 两个二次函数[f(x)=x2+bx+c]与[g(x)=-x2+2x+d]的图象有唯一的公共点[P(1,-2)].

（Ⅰ）求[b、c、d]的值；

（Ⅱ）设[F(x)=(f(x)+m)⋅g(x)]，若[F(x)]在R上是单调函数，求[m]的取值范围，并指出[F(x)]是单调递增函数，还是单调递减函数.

18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量[y](单位：千克)与销售价格[x](单位：元/千克)满足关系式[y=ax-3＋10(x－6)2]，其中[3

（Ⅰ）求[a]的值；

（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格[x]的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

19. 已知[a∈R]，函数[f(x)=ax+lnx-1]，[g(x)=][lnx-1ex+x]（其中[e]为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数[f(x)]在区间[0,e]上的最小值；

（Ⅱ）是否存在实数[x0∈0,e]，使曲线[y=g(x)]在点[x=x0]处的切线与[y]轴垂直? 若存在，求出[x0]的值；若不存在，请说明理由.

20. 已知函数[f(x)=lnx-a(x-1)x+1.]

（Ⅰ）若函数[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，求[a]的取值范围；

（Ⅱ）设[m]、[n∈R+]，且[m≠n]，求证：[m-nlnm-lnn<][m+n2.]

21. 定义：[F(x,y)=xy+lnx,x∈(0,+∞),][y∈R,][f(x)=F(x,xa)]（其中[a≠0]）.

（Ⅰ）求[f(x)]的单调区间；

（Ⅱ）若[f(x)<-12]恒成立，试求实数[a]的取值范围；

函数与导数二轮复习（共） 第5篇

[考点分析预测]

考点一基本函数的图象与性质

考点二 分段函数与复合函数

考点三抽象函数与函数性质

考点四 函数图象及其应用

考点五 导数的概念与意义

考点六 利用导数研究函数性质

考点七函数与导数的综合应用

整体来看，考查的热点集中在三个方面。热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数及函数图象；热点之二是利用函数、方程、不等式的相互关系，对具体问题具体分析，最终解决问题。热点之三是利用导数研究函数的性质，及函数与导数的综合应用

[考点透视]

函数是高中数学的重要内容，函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题及其他问题。导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具。纵观近几年的高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样,而且知识覆盖面广、综合性强、灵活性高，突出考查学生方程与函数、联系与转化、分类与讨论、数形结合等重要的数学思想、能力，是高考考查数学思想、数学方法、基础素质与综合能力的主阵地。

“函数与导数”的考查(文科)呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以多项式函数、尤其是三次函数为主要载体，考查的导数的几何意义与导数的应用；（4）解答题的重点仍将围绕二次函数及三次函数展开，考查三个“二次”问题、利用导数研究函数的单调性、极（最）值与解决与方程及不等式相关的综合问题等。解答题也可能在简单的指数、对数复合函数及应用题上设计试题。

“函数与导数”的考查（理科）呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以分式型函数、三次函数、“杂合型”函数为主要载体，考查函数的极限、导数的概念与几何意义、导数的应用；（4）解答题的考查重点是利用导数研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程及不等式相关的综合问题，压轴题中可能设计此部分与数列、三角、解析几何等知识的综合题来拔高难度；（5）三个“二次”的问题渗透在各类问题中进行综合、灵活考查。

备考指导

1．抓住两条主线，构建函数知识体系

一是“基本函数的图象及其性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等一些常见函数的图象性质，归纳提炼函数性质的应用规律。二是函数的概念与基本性质，熟练掌握函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等基本求法与解题步骤，并会灵活应用。

2．依托基础知识，强化思想方法训练

函数是考查“数形结合”思想的重要载体，要熟练掌握基本函数的图象和性质，分析掌握基本函数图象间的关系。在此基础上，理解掌握常见的平移、对称变换方法，强化“由式到图”和“由图到式”的转化训练。原函数与反函数，原函数与导函数图象之间的关系常被设计成考点，要注意重点掌握。函数与方程思想是本章复习的另一个重点，要善于转化命题，引进变量建立函数，运用变量的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力。此外，分类讨论思想、特殊化思想、转化与化归思想等都应在复习中多加体悟与应用。

3．加强纵横联系，强化综合应用意识

函数的单调性与导数课后反思 第6篇

1.本节课的亮点：

教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广到一般这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想方法,培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

2.不足之处：

教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧； 在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时，列举的函数有点多；学生对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练。

3.改进的思路：

①选取函数时应简单，易懂

导数与函数的单调性的教学反思 第7篇

1.注重教学设计

本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。

2.注重探究方法和数学思想的渗透

教学过程中教师指导启发学生以循序渐进的模式由简到难，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

3.突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者

教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。并体验发现规律的喜悦感，激发热爱数学的积极情绪。

4.现代信息技术的合理使用

多媒体的使用，第一，在教学上节省了时间，让学生有更多时间去探究。第二，利用几何画板的优势，使原本不能画出的图像都通过几何画板画出，直观的验证了函数的导数的正负与单调性的关系。帮助学生发现规律。使探究落到实处。

二、本节课存在的不足之处是：

(1)课件中有些漏掉的部分。

(2)作业部分未展示。

(3)复习导数概念时，由于学生说不清楚，教师没及时中断，导致引入时间有点长。

三、改进思路：

(1)加强学习现代信息技术，提高制作多媒体技术的水平。

导数与函数的单调性 第8篇

1.求单调区间

令f' (x) <0, 得0<x<1,

所以函数的单调递减区间为 (0, 1) .

2.已知单调区间求参数范围

例2已知函数f (x) =x3-ax+6在区间 (1, +∞) 上递增, 求a的取值范围.

解因为f' (x) =3x2-a,

且f' (x) ≥0在 (1, +∞) 上恒成立,

所以3x2-a≥0在 (1, +∞) 上恒成立,

解得a≤3.

3.存在单调区间求参数范围

且函数存在单调减区间, 所以

f' (x) <0有解,

所以g (x) 在 (0, 1) 递减, 在 (1, +∞) 递增, g (x) min=g (1) =-1,

故a>-1.

4.给定区间上的不单调问题

例4若函数f (x) =x3-12x在区间 (k-1, k+1) 上不是单调函数, 求k的取值范围.

令f' (x) =0, 得x=±2,

因为函数f (x) 在区间 (k-1, k+1) 上不是单调函数, 所以

或k-1<2<k+1,

解得-3<k<-1, 或1<k<3.

例5若函数f (x) =x3+ (1-a) x2-a (a+2) x在 (-1, 1) 上不单调, 求a的取值范围.

解由f' (x) =0, 得

又f (x) 在 (-1, 1) 上不单调,

所以a的取值范围是

函数与导数 第9篇

例1 已知函数[f(x)=lnx2-2axe,]（[a∈R],[e]为自然对数的底数）.

（1）求函数[f(x)]的递增区间；

（2）当[a=1]时，过点[P(0,t)(t∈R)]作曲线[y=f(x)]的两条切线，设两切点为[P1(x1,f(x1)),][P2(x2,f(x2)),][(x1≠x2),]求证：[x1+x2=0.]

解析 （1）函数[f(x)]的定义域是[(-∞,0)⋃(0,+∞).]

[f(x)=2x-2ae=2(e-ax)ex.]

当[a=0]时，由[f(x)=2x>0]，解得[x>0]；

当[a>0]时，由[f(x)=2(e-ax)ex>0]，解得[0

当[a<0]时，由[f(x)=2(e-ax)ex>0]，解得[x>0]，或[x

所以当[a=0]时，函数[f(x)]的递增区间是[(0,+∞)]；

当[a>0]时，函数[f(x)]的递增区间是[(0,ea)]；

当[a<0]时，函数[f(x)]的递增区间是[(-∞,ea)],[(0,+∞)].

（2）因为[f(x)=2x-2e=2(e-x)ex,]

所以以[P1(x1,f(x1))]为切点的切线的斜率为[2(e-x1)ex1]；

以[P2(x2,f(x2))]为切点的切线的斜率为[2(e-x2)ex2.]

又因为切线过点[P(0,t)]，所以[t-lnx12+2x1e=][2(e-x1)ex1(0-x1)]；

[t-lnx22+2x2e=2(e-x2)ex2(0-x2).]

解得，[x12=et+2]，[x22=et+2]. 则[x12=x22].

由已知[x1≠x2],所以，[x1+x2=0.]

点评 求函数单调区间问题充分利用[f(x)]的正负与单调性的关系，特别注意函数定义域，注意区别过某点的切线与在某点处切线.

例2 已知函数[f(x)=lnx-a(x-1)x+1.]

（1）若函数[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，求[a]的取值范围；

（2）设[m、n∈R+]，且[m≠n]，求证：[m-nlnm-lnn<][m+n2].

解析 （1）[f(x)=1x-a(x+1)-a(x-1)(x+1)2]

[=(x+1)2-2axx(x+1)2=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2.]

因为[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，

所以[f(x)≥0]在[(0,+∞)]上恒成立.

即[x2+(2-2a)x+1≥0]在[(0,+∞)]上恒成立.

当[x∈(0,+∞)]时，由[x2+(2-2a)x+1≥0]，

得[2a-2≤x+1x.]

设[g(x)=x+1x]，[x∈(0,+∞)].

[g(x)=x+1x≥2x⋅1x=2.]

当且仅当[x=1x]，即[x=1]时，[g(x)]有最小值2.

所以[2a-2≤2,] [a≤2].

[a]的取值范围是[(-∞,2]].

（2）不妨设[m>n>0]，则[mn>1].

要证[m-nlnm-lnn

即证[lnmn>2(mn-1)mn+1]，只需证[lnmn-2(mn-1)mn+1>0].

设[h(x)=lnx-2(x-1)x+1].

由（1）知[h(x)]在[(1,+∞)]上是单调增函数，

又[mn>1]，所以[h(mn)]>[h(1)=0].

即[lnmn-2(mn-1)mn+1>0]成立.

所以[m-nlnm-lnn

点评 此题是解决函数在某区间内是单调的参数取值问题，转化为函数的最值问题，注意端点值；第二问充分利用函数单调性证明不等式，提高代数式的变形能力.

例3 已知函数[fx=lnxx].

（1）判断函数[fx]的单调性；

（2）若[y=][xfx]+[1x]的图象总在直线[y=a]的上方，求实数[a]的取值范围；

（3）若函数[fx]与[gx=16x-mx+23]的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数[m]的值.

解析 （1）可得[f(x)=1-lnxx2].

当[00],[f(x)]为增函数；

当[x>e]时,[f(x)<0],[f(x)]为减函数.

（2）依题意， 转化为不等式[a0]恒成立.

令[g(x)=lnx+1x]， 则[g(x)=1x-1x2=1x(1-1x).]

当[x>1]时，因为[g(x)=1x(1-1x)>0],[g(x)]是[(1,+∞)]上的增函数.

当[x∈0, 1]时，[g(x)<0]，[g(x)]是[0, 1]上的减函数.

所以[g(x)]的最小值是[g(1)=1]，从而[a]的取值范围是[-∞, 1].

（3）转化为[lnx=16x2+23x-m]，[y=lnx]与[y=16x2+23x-m]在公共点[(x0,y0)]处的切线相同.

由题意知[lnx0=16x20+23x0-m,1x0=13x0+23.]

解得[x0=1]，或[x0=-3]（舍去）.

代入第一式，即有[m=56].

点评 此题是函数图象位置关系及切线问题，合理利用导数的定义及应用转化为函数的最值来解决.

例4 已知[a>0]，且[a≠1]，函数[f(x)=loga(1-ax)].

（1）求函数[f(x)]的定义域，并判断[f(x)]的单调性；

（2）若[n∈N*]，求[limn→+∝af(n)an+a;]

（3）当[a=e]（[e]为自然对数的底数）时， 设[h(x)=][(1-ef(x))(x2-m+1)]，若函数[h(x)]的极值存在，求实数[m]的取值范围以及函数[h(x)]的极值.

解析 （1）由题意知[1-ax>0.]

当[01]时,[f(x)]的定义域是[(-∞,0)].

[f(x)=-ax⋅lna1-ax⋅logae=axax-1.]

当[00]，∴[f(x)<0]，∴[f(x)]是减函数；

当[a>1]时，[x∈(-∞,0)]，∵[ax-1<0]，[ax>0]，∴[f(x)<0]，∴[f(x)]是减函数.

（2）因为[f(n)=loga(1-an)]，所以[af(n)=1-an.]

由函数定义域知[1-an>0]，

因为[n]是正整数，故[0

所以[limn→∝af(n)an+a=limn→∝1-anan+a=1a.]

（3）[h(x)=ex(x2-m+1)(x<0)],

所以[h(x)=ex(x2+2x-m+1).]

令[h(x)=0],即[x2+2x-m+1=0]，

由题意应有Δ[≥0]，即[m≥0.]

当[m=0]时，[h(x)=0]有实根[x=-1]，在[x=-1]点左右两侧均有[h(x)>0,]故[h(x)]无极值；

当[0

当[x]变化时，[h(x)]、[h(x)]的变化情况如下表所示：

[[x]&[(-∝,x1)]&[x1]&[(x1,x2)]&[x2]&[(x2,0)]&[h(x)]&+&0&-&0&+&[h(x)]&↗&极大值&↘&极小值&↗&]

[∴h(x)]的极大值为[2e-1-m(1+m)]，[h(x)]的极小值为[2e-1+m(1-m);]

当[m≥1]时，[h(x)=0]在定义域内有一个实根，[x=-1-m,]

同上可得[h(x)]的极大值为[2e-1-m(1+m).]

综上所述，[m∈(0,+∝)]时，函数[h(x)]有极值.

当[0

当[m≥1]时，[h(x)]的极大值为[2e-1-m(1+m).]

点评 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力.

例5 设函数[f(x)=x2+aln(1+x)]有两个极值点[x1]、[x2]，且[x1

（1）求[a]的取值范围，并讨论[f(x)]的单调性；

（2）证明：[f(x2)>1-2ln24.]

解析 （1）[f(x)=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x][(x>-1).]

令[g(x)=2x2+2x+a]，其对称轴为[x=-12]. 由题意知[x1]、[x2]是方程[g(x)=0]的两个均大于[-1]的不相等的实根，

其充要条件为[Δ]，得[0

①当[x∈(-1,x1)]时，[f(x)>0]，[∴f(x)]在[(-1,x1)]内为增函数；

②当[x∈(x1,x2)]时，[f(x)<0]，[∴f(x)]在[(x1,x2)]内为减函数；

③当[x∈(x2,+∞)]时，[f(x)>0]，[∴f(x)]在[(x2,+∝)]内为增函数.

（2）由（1）[g(0)=a>0,][∴-12

[∴f(x2)=x22+aln(1+x2)=x22-(2x22+2x2)ln(1+x2).]

设[h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x) (x>-12)]，

则[h(x)=2x-2(2x+1)ln(1+a)-2x]

[=-2(2x+1)ln(1+x).]

①当[x∈(-12,0)]时，[h(x)>0]，[h(x)]在[[-12,0]]单调递增；

②当[x∈(0,+∞)]时，[h(x)<0]，[h(x)]在[h(x)]单调递减.

[∴当][x∈(-12,0)时,][h(x)>h(-12)=1-2ln24,]

故[f(x2)=h(x2)>1-2ln24].

点评 本题考查函数取极值的条件及利用函数单调性及最值证明不等式，充分利用分类整合思想进行推理证明.

专题训练一

一、选择题

1. 设[f(x)、g(x)]是R上的可导函数，[f(x)、g(x)]分别是[f(x)、g(x)]的导函数，且[f(x)g(x)+f(x)g(x)][<0]，则当[a

A. [f(x)g(x)>f(b)g(b)] B. [f(x)g(a)>f(a)g(x)]

C. [f(x)g(b)>f(b)g(x)] D. [f(x)g(x)>f(a)g(a)]

2. 若存在过点(1,0)的直线与曲线[y=x3]和[y=ax2+154x-9]都相切，则[a]等于（ ）

A. [-1]或[-2564] B. [-1]或[214]

C. [-74]或[-2564] D. [-74]或7

3. 设函数[f(x)=g(x)+x2]，曲线[y=g(x)]在点[(1,g(1))]处的切线方程为[y=2x+1]，则曲线[y=f(x)]在点[(1,g(1))]处切线的斜率为（ ）

A. 4 B. [-14] C. 2 D. [-12]

4. 设[a

[A B][C D]

5. 设函数[y=f(x)]在[(-∞,+∞)]内有定义. 对于给定的正数[K]，定义函数[fK(x)=f(x),f(x)≤KK,f(x)>K]

取函数[f(x)=2-x-e-1]. 若对任意的[x∈(-∞,+∞)]，恒有[fK(x)=f(x)]，则（ ）

A. [K]的最大值为2 B. [K]的最小值为2

C. [K]的最大值为1D. [K]的最小值为1

6. 若[a>3]，则方程[x3-ax2+1=0]在（0，2）上恰有（ ）个实根.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 已知[|a|=2|b|≠0]，且关于[x]的函数[f(x)=13x3+12|a|x2+a⋅bx]在R上有极值，则[a]与[b]的夹角范围为（ ）

A. [[0,  π6)]B. [(π6,  π]]

C. [(π3,  π]] D. [(π3,  2π3]]

8. 设函数[f(x)=13ax3+12bx2+cx]，且[f(1)=][-a2]，[3a>2c>2b]，则下列结论不正确的是（ ）

A. [-3

C. [-140]且[b<0]

9. 已知函数[f(x)]的定义域是R，且[x≠kπ+π2(k∈Z)]，若函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+π)]，且当[x∈(-π2,  π2)]时，[f(x)=2x+sinx]，设[a=f(-1)]，[b=f(-2)]，[c=f(-3)]，则（ ）

A. [c

C. [a

10. 已知[f(x)=x3-3x]，过点[A(1,  m)(m≠-2)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线，则[m]的取值范围是（ ）

A. （－1，1）B. （－2，3）

C. （－1，－2）D. （－3，－2）

二、填空题

11. 路灯距地面为8米，一个身高为1.7米的人以每秒1.4米的速度匀速地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，那么人影的变化速率为

12. 已知函数[y=f(x)]和[y=g(x)]在[-2，2]的图象如下所示：

[2][2][1][-1][-2][-2] [2][2][1][-1][-2][-2][-1][1] [1] [-1]

给出下列四个命题：

①方程[f[g(x)]=0]有且仅有6个根

②方程[g[f(x)]=0]有且仅有3个根

③方程[f[f(x)]=0]有且仅有5个根

④方程[g[g(x)]=0]有且仅有4个根

其中正确的命题是 . （将所有正确的命题序号填在横线上）.

13. 若曲线[f(x)=ax3+lnx]存在垂直于[y]轴的切线，则实数[a]取值范围是 .

14. 已知[f(x)]是定义在[(-∞,0)⋃(0,+∞)]上的奇函数，当[x>0]时，[f(x)=lnx-ax]. 若函数[f(x)]在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数[a]的取值范围是 .

15. 设曲线[y=xn+1(n∈N*)]在点（1，1）处的切线与[x]轴的交点的横坐标为[xn],令[an=lgxn]，则[a1+a2+…+a99]的值为 .

三、解答题

16. 已知函数[f(x)=x2-2lnx,][h(x)=x2-x+a.]

（1）求函数[f(x)]的极值；

（2）设函数[k(x)=f(x)-h(x),]若函数[k(x)]在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.

17. 已知函数[f(x)=mx33+ax2+(1-b2)x,][m,a,b∈]R.

（1）求函数[f(x)]的导函数[f(x)]；

（2）当[m=1]时，若函数[f(x)]是R上的增函数，求[z=a+b]的最小值；

（3）当[a=1,b=2]时，函数[f(x)]在[（2，+∞）]上存在单调递增区间，求[m]的取值范围.

18. 已知二次函数[y=g(x)]的导函数的图象与直线[y=2x]平行,且[y=g(x)]在[x=-1]处取得最小值[m－1(m≠0)]. 设函数[f(x)=g(x)x.]

（1）若曲线[y=f(x)]上的点[P]到点[Q(0,2)]的距离的最小值为[2]，求[m]的值

（2）[k(k∈R)]如何取值时,函数[y=f(x)-kx]存在零点，并求出零点.

19. 已知函数[f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx]，[a>1.]

（1）讨论函数[f(x)]的单调性；

（2）证明：若[a<5]，则对任意[x1,x2∈(0,+∝)]，[x1≠x2]，有[f(x1)-f(x2)x1-x2>-1].

20. 已知函数[f(x)=|x-a|-lnx(a>0).]

（1）若[a=1,]求[f(x)]的单调区间及[f(x)]的最小值；

（2）若[a>0]，求[f(x)]的单调区间；

（3）试比较[ln2222+ln3232+⋯+lnn2n2]与[(n-1)(2n+1)2(n+1)]的大小[(n∈N*且n≥2)]，并证明你的结论.

21. 设[x1、x2]是[f(x)=a3x3+b-12x2+x(a,b∈R,][a>0)]的两个极值点,[f(x)]为[f(x)]的导函数.

（1）如果[x1<2

（2）如果[0

与导数分担有理函数的整函数 第10篇

应用函数极值与导数的关系求函数极值，用导数求闭区间上函数的最大值和最小值的方法让学生经过实例分析，熟练灵活掌握，使学生经历知识产生与形成的过程。以自主探究为主，及时归纳方法，熟练灵活应用知识解决问题，注意题型归类．规范解题步骤，严格化训练学生运算能力。加强自信心的培养，积累高考题、创新题的解法，鼓励学生从多个角度分析解决问题，形成良好的知识结构与网络。通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力、探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。

不足：学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进。学生运算技能还需要进一步提高，尤其是字母运算，加强分类讨论思想方法总结，题目难度需进一步降一下，心理素质需进一步调节，学生浮躁，好习惯有待加强养成。

与导数分担有理函数的整函数 第11篇

1、学生对函数的单调性有所遗忘，不会求单调区间。

2、学生对导数的几何意义不能深入理解。

3、学生对求导公式掌握不够熟练，求导出现错误。

4、教师所设计的问题难度偏大，练习题目过少。

5、学生的讨论与参与不够主动。补救措施：

函数与导数的综合性问题 第12篇

例1 已知f (x) =x3+bx2+cx+d在 (-∞, 0) 上是增函数, 在[0, 2]上是减函数, 且函数y=f (x) 有三个零点, 它们分别是x1, 2, x2. (1) 求c的值; (2) 求证:f (1) ≥2; (3) 求|x1-x2|的取值范围.

解 (1) 根据题意, 得

∵函数在 (-∞, 0) 上单调递增, 在[0, 2]上单调递减,

∴x=0是函数的极大值点, ∴f′ (0) =0.

又 ∵f′ (x) =3x2+2bx+c, ∴c=0.

(2) ∵2是函数y=f (x) 的零点, ∴f (2) =8+4b+2c+d=0.

又 c=0, ∴d=-4 (b+2) .

∵f′ (x) =3x2+2bx=0, 得undefined

∵f (x) 在[0, 2]上是减函数, undefined,

即b≤-3, ∴f (1) =1+b+d=-7-3b≥2.

(3) ∵x1, 2, x2是y=f (x) 的三个零点, 即f (x) =0的三个根分别为x1, 2, x2, 可设f (x) = (x-x1) (x-2) (x-x2) ,

∴f (x) =x3- (2+x1+x2) x2+ (2x1+2x2+x1x2) x-2x1x2=x3+bx2+cx+d, 即

undefined

小结 本题主要考查了导数在函数中的应用、函数的零点的概念、函数单调性等知识, 导数作为解决函数问题的工具, 常用于求函数的单调性、最值等等, 解题时要把握好导数与函数的单调性的关系.

例2 已知函数f (x) =xlnx, g (x) =x3-ax2-9x.

(1) 如果函数g (x) 的单调递减区间为 (-1, 3) , 求函数g (x) 的解析式.

(2) 在 (1) 的条件下, 求函数y=g (x) 的图像在点 (-2, -2) 处的切线方程.

(3) 若不等式2f (x) ≤g (x) +10的解集为P, 且 (0, +∞) ⊆P, 求实数a的取值范围.

解 (1) g′ (x) =3x2-2ax-9.

由题意, 得3x2-2ax-9<0的解集为 (-1, 3) .

即3x2-2ax-9=0的两根为

undefined

(2) 由 (1) 知, g′ (x) =3x2-6x-9, ∴g′ (-2) =15.

∴点P (-2, -2) 处的切线斜率k=g′ (-2) =15.

∴函数y=g (x) 的图像在点P (-2, -2) 处的切线方程为y+2=15 (x+2) , 即15x-y+28=0.

(3) ∵ (0, +∞) ⊆P, ∴2f (x) ≤g′ (x) +10的解集为P,

即2xlnx≤3x2-2ax+1对x∈ (0, +∞) 恒成立.

可得undefined,

即undefined对x∈ (0, +∞) 恒成立.

设undefined,

则undefined

令h′ (x) =0, 得x=1或undefined (舍去) .

当00时, h′ (x) >0.

∴当x=1时, h (x) 取最小值, h (x) min=h (1) =2, ∴a≤2.

∴a的取值范围是a≤2.

小结 本题主要是理解题意, 将函数g (x) 的单调递减区间为 (-1, 3) 转化为g′ (x) =3x2-2ax-9<0的解集为 (-1, 3) 来解决问题.

例3 设函数f (x) =2x3+3ax2+3bx在x=1及x=2时取极值. (1) 求函数f (x) 的解析式; (2) 求证:对于区间[1, 2]上任意两个自变量的值x1, x2, 都有|f (x1) -f (x2) |≤1; (3) 若过点A (1, m) (m≠5) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 求m的取值范围.

解 (1) f′ (x) =6x2+6ax+3b, ∴得

undefined

当1≤x≤2时, f′ (x) ≤0, ∴f (x) 在区间[1, 2]上单调递减.

∴在区间[1, 2]上f (x) max=f (1) =5, f (x) min=f (2) =4.

∴对于区间[1, 2]上任意两个自变量的值x1, x2, |f (x1) -f (x2) |≤|f (x) max-f (x) min|≤5-4=1, ∴原不等式得证.

(3) 由题知, f′ (x) =6 (x-1) (x-2) ,

曲线方程为f (x) =2x3-9x2+12x, 且点A (1, m) 不在曲线上.设切点为M (x0, y0) , 则点M的坐标满足

y0=2xundefined-9xundefined+12x0.

∵f′ (x0) =6 (x0-1) (x0-2) , ∴根据切线的斜率, 得

undefined,

整理, 得4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0.

∵过点A (1, m) (m≠5) 可作曲线y=f (x) 的三条切线,

∴关于x0的方程4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0有三个实根.设g (x0) =4xundefined-15xundefined+18x0-12+m,

则g′ (x0) =12xundefined-30x0+18.

令g′ (x0) =0, 可得x0=1或undefined

∴函数g (x0) =4xundefined-15xundefined+18x0-12+m的极值点为x0=1或undefined

∴关于x0的方程4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0有三个实根的充要条件是undefined,

即undefined, 解得undefined

∴所求实数m的取值范围是undefined

函数与导数考点预测 第13篇

距2015年的广东高考只有两个来月时间，函数与导数这一内容在高考数学中将怎样考，现追踪寻源，试作如下分析，以探轨求迹.

一、追踪寻源

高考数学试题的范围本源《课程标准》，试题的深浅难易遵循《考试大纲》.两者就如同孙悟空给唐僧划出的金光守护圆圈.从近年广东高考趋势看，所考核的函数与导数这一内容越来越蜗居于《课程标准》与《考试大纲》，形式趋向稳定.

1.《考试大纲》（2014年广东高考大纲，以下同）中对函数的要求，如下表1：

【点评】守标依纲靠本是高考数学命题一首永恒的歌.在每年的高考中，使出浑身解数的命题者就像孙悟空，而《课程标准》与《考试大纲》就像孙悟空头上的两道紧箍咒，保证了去西天取经的学子都能发挥应有的水平，顺利拿到真经.

与往年高考数学试题相比，原来重点对函数的考查，近三年渐渐转移为对导数内容的考查.整份试卷前面是常规简易的函数选择题，接着是难度中等的导数填空题，而最后压轴的是可充分体现综合分析能力及运算求解能力的要求较高的导数应用大题.构题内容平实却能彰显考生的功力与素养，估计2015年高考广东数学在函数与导数这一内容上将继续保持这一风格.

二、探轨求迹

对2015年的广东高考数学展望，想必也不外乎近几年态势.即函数与导数这块内容估计与近三年试题布局不变，概括为：函数概念图形始；导数运算次相随；数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢.下面以题组练习形式展现，边实践边梳理，感悟消化提高.

（一）函数概念图形始

近三年在选择题或填空题中常以函数概念中的定义域、值域、解析式、图像、单调性、奇偶性等作为考查目标，试题难度不大，属容易题.有的是送分题，但在求解时容易漏掉部分约束条件，也是易错题.载体是各种初等函数及其多姿的组合函数.

（三）数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢

在近三年的广东高考数学试题中，最后登台亮相的压轴题都是导数的综合应用大题.本题考查考生的分析问题及解决问题的能力，综合能力要求较高，抽象思维能力要求较强，旨在检验考生未来学习的潜能.该类导数试题的一个共同特点是：把高中数学中的函数（导数）、方程与不等式三者的知识关联到一起，在始终伴随至少一个参变量的推理论证与运算求解过程中，在复杂、抽象的情境中，通过对各种情况的讨论、分析、论证、求解而顺利到达彼岸.做到这一点不光要有坚韧不拔的意志品质，还要有较高的综合素质与数学素养.

【锦囊妙计】

1. “山高人为峰”. 在处理压轴题中的多变量问题时，首先要理清关系，分清主元与次元，确定变元的活动范围，借助知识，寻找突破口，找到解决问题的办法.数形结合，推证严谨，表述简练，不忘收官.

2. 善用各种数学思想，如①由参数的变化引起的分类讨论思想，分类时统一标准，层次要分明，不重不漏；②化“难生繁未”为“易熟简知”的转化与化归思想；③函数与方程的思想，把握好数园三结义（函数、方程、不等式）的密切相关；④观数思形，数形互化，化形显数的数形结合思想等.

三、备考建议

在距2015年广东高考不足3个月的时间里，如何抓住重点，收缩聚焦，高效复习好函数与导数这一内容，我提出以下建议：

1. 依纲靠本 梳理排查

在二轮复习中对照课本与《考试大纲》查漏补缺.如对待函数的复习，要重视对函数概念和基本性质的理解.包括函数的定义域、值域（最、极值）、对应法则、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性、图像变换等.研究函数的性质要注意分析函数解析式（数）的特征，同时要注意函数图像（形）的作用.进一步加强对函数与导数的基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练，争取容易题、中档题不失分.

2. 通性通法 熟门熟路

要对函数与导数的各类性质应用比较熟悉，对处理函数与导数问题的方法得心应手.通过题组练习来检测用时与准确度，及时评估解题效能，不断提高熟悉程度.除本文提到的部分锦囊妙记之外，还需自己动手整理补全，不留漏洞.

3. 数学思想 深谙其道

不练功，到老空.数学思想犹如武侠小说中的内功心法，若在平时稍加感悟与练习，则数学能力将会有长足的进步.数学中函数与导数的问题解决离不开数学思想，其分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程的思想、数形结合思想对解决压轴题十分重要！

4. 紧抓重点 突破难点

函数是导数的研究对象.导数是研究函数的通用、有效、简便的工具.必须熟悉各类已学函数的导数公式.用导数研究函数是对函数概念又一次螺旋上升的理解.

重点把握导数的几何意义、函数的极值、单调性和最值问题，突破导数与其它知识（如方程、不等式）结合的难点问题.

用导数解决函数问题时，重在训练分析思路、方法手段、数学思想的应用.放过那些已知已会的，专攻自己一知半解的.通过题组练习，整合聚焦，反思对照，落到实处，提高能力.逐步使知识和方法系统化，同时规范书写，完整表述，争取压轴题多拿分.

5. 提升能力 降妖服魔

铁打的营盘流水的兵.提升数学能力，增强数学综合实力，培养更好的数学素养就是不动的营盘，而年年变化的高考试题则是流动的兵.只要我们有足够的营盘，就可以装载下流动变化的兵！由于《课程标准》与《考试大纲》就像命题者头上的两道紧箍咒，所以不管试题怎样变化，而考查函数与导数的主干知识与核心能力将永远不变.只要你储备好相应的能力，便能过关斩将，顺利发挥好你的水平，取得应有的好成绩！

本文是对2015年高考广东函数与导数的粗浅认识，仅供参考，由于时间紧迫，错漏之处，敬请原谅.最后祝考生顺利发挥水平，考出好的成绩.

（作者单位：江门市新会华侨中学）