数列求和的常见方法

2024-05-19

数列求和的常见方法（精选6篇）

数列求和的常见方法第1篇

关键词：高中数学,公式法求法,倒序相加法,错位相减法,裂项求和法,分组求和

数列这部分内容出现在高中数学人教版必修5 第二章, 课本重点介绍等差数列及等比数列, 它们的前n项和分别采取倒序相加和错位相减法。但是, 在平时解题训练中出现的题目, 绝非简单的等差或等比数列求和。本文结合教学实践, 对高中数学中常见数列求和方法进行探究。

一、公式法求和

能够用公式法求和的, 是课本中列举的等差或等比数列的前n项和求法。例1:设数列{an}满足a1=1, an+1=3an, n∈N* 。 (1) 求{an}的通项公式及前n项和Sn. (2) 已知{bn}是等差数列, Tn为其前n项和, 且b1=a2, b3=a1+a2+a3, 求T20. 解析: (1) 已知数列{an}为等比数列, 所以an=3n-1, . (2) ∵b1=a2, b3=a1+a2+a3=13, ∴b3-b1=10=2d, ∴d=5, 故数列{bn}是以3 为首项, 以5 为公差的等差数列, 所以解题感悟:利用公式求解数列的前n项和, 需要先对数列的类型作出判断, 因而对等差或等比数列的定义要特别清楚。除了定义判断外, 常见的方法还有通项公式法、前n项和公式法、等差 (比) 中项法等。

二、倒序相加法

课本借助高斯算法引进等差数列的前n项和求法, 即倒序相加法。倒序相加法适用题型的数列特点是距离首末两项等距离的两项之和相等。例2:设函数上两点为P1 (x1, y1) 、P2 (x2, y2) , 若, 且点P的横坐标为1/2: (1) 求点P的纵坐标。 (2) 若, 求Sn. 解析: (略) 解题感悟:此类题目往往在知识交汇处命题, 与数列、函数、不等式、向量联系较紧密, 量大面宽, 学生要学会知识融会贯通。倒序相加注重一个等式 (自变量的和是定值, 函数值的和也是定值) , 利用题目条件推导此类式子是解题关键。

三、错位相减法

课本推导等比数列的前n项和采用了错位相减法, 推广以后可以用错位相减法解决一类数列求和问题, 即一个数列中的项是由一个等差数列中的对应项乘以一个等比数列的对应项构成的新数列, 该数列的前n项和可采用此法。例3:人教版必修5 习题2.5A组第4 题 (3) :求和1+2x+3x2+……+nxn-1.解析: (略) 解题感悟:很多学生对于错位相减法在具体操作过程中漏洞百出, 不能完整作答。究其原因, 主要是对错位二字没有正确理解。再者, 含参问题一定要分类讨论。同时, 也发现部分学生在运算时能力较差。

四、裂项求和

裂项求和首先是将数列的通项拆分成结构相同的两式之差, 然后求前n项和时, 利用正负相消的原理将中间若干项抵消掉, 剩下有限的几项再求和。需要注意的是, 必须搞清楚消掉了哪些项, 保留了哪些项。一般保留的项前后具有对称的特点, 即前面剩下的项数与后面剩下的项数相等。例4: (人教版必修5习题2.3B组第4 题) 数列前n项和.研究一下, 能否找到求Sn2×33×44×5n× (n+1) 的一个公式。你能对这个问题作一些推广吗?解析: (略) 解题感悟:裂项求和法适用的题型数列通项往往是分式结构。平时, 要多留意几个常见的裂项公式 (篇幅所限, 略) 。

五、分组求和

数列的通项公式是由明显差异的几部分构成时, 并且每一部分可以求和, 可按分组求和的方式进行求和, 此法便于操作。例5:已知an=2n-3×5-n, 求数列{an}的前n项和Sn.解析: (略) 解题感悟:分组求和时, 首先应抓住数列通项的特点, 对数列的通项进行研究, 找出每一部分的差异, 然后每一组转化成我们比较熟悉的等差或等比数列, 它们的求和采用前面介绍过的公式法求和。

六、结束语

数列部分的题目常考常新, 且与函数、不等式、向量等联系紧密, 借助它们命题是一种趋势, 而且难度较大。这就要求学生在掌握好基本功 (基础知识、基本方法、基本技能) 的同时, 重点提升自己的内功 (逻辑思维能力) , 能将数学知识进行融会贯通。在本章的学习过程中, 学生要多思考, 多归纳, 多总结。

参考文献

[1]阴夏玲.对某些特殊数列求和方法的探讨[J].山西师范大学学报:自然科学版, 2013 (S2) .

数列求和的解题方法总结第2篇

数列通项与数列求和

二. 教学要求：

掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。

三. 教学重点、难点：

重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。

难点：转化的思想以及转化的途径。

四. 基本内容及基本方法

1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;

(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.

(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，

=f(n)，an+1=pan+q，分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).

2、数列的前n项和

(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前n项和，一般有下列几种方法：

(2)等差数列的前n项和公式：

Sn= = .

(3)等比数列的前n项和公式：

①当q=1时，Sn= .

②当q≠1时，Sn= .

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.

(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.

方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。

②对通项中含有(-1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。

③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。

【典型例题】

例1. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.

(1)求证：{an}为等差数列;

(2)求S n的最小值及相应的n;

(3)记数列{

}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。

解：(1)n=1时，a1=S1=-8

n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10

∴ an=2n-10 an+1-an=2

∴ {an}是等差数列.

(2)Sn=n2-9n=(n-

)2-

∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.

(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |

令an≥0

n≥5 ∴ 当n≤4时，| an |=10-2n

Tn=

，当n≥5时，

Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

数列求和的方法与技巧第3篇

数列求和的指导思想:看通项, 定方法.先求出数列的通项公式, 然后根据数列通项的具体形式决定用哪种方法.

一、公式法

等差数列求和公式:

等比数列求和公式:

补充公式:12+22+…+n2=1/6n (n+1) (2n+1)

13+23+…+n3=1/4n2 (n+1) 2

典型例题:例1.数列{an}满足an=n2+3n-1 (n∈N*) , 求数列{an}的前n项和Sn.

分析:数列{an}的通项由“n2”和“3n-1”两部分组成, “n2”可以用12+22+…+n2=1/6n (n+1) (2n+1) 这个公式求和 , “3n-1”可以用等差数列求和公式求和 , 因此本题用公式法求和较简单.

二、错位相减法

形如{an·bn}, 其中一个是等差数列, 另一个是等比数列, 此类题型用错位相减法求和.

典型例题:例2.数列{an}满足an= (2n-1) ·3n (n∈N*) , 求数列{an}的前n项和Sn.

三、裂项相消法

形如:此类题型用裂项相消法求和.

典型例题:例3.数列{an}是各项都不相等的正项等比数列且an≠1 (n∈N*) , 求证:

四、倒序相加法

数列{an}的第一项与倒数第一项的和是个定值, 第二项与倒数第二项的和是个定值, 以此类推, 此类题型用倒序相加法求和.

典型例题:例4.函数f (x) 对任意x∈R都有f (x) +f (1-x) =1/2, 且Sn=f (0) +f (1/n) +f (2/n) +…+f (1) , 求Sn.

五、分组求和法

若一个数列的通项由几个不同的数列组合而成, 并且可以把这个数列分解成几个能求和的式子, 此类型用分组求和.

典型例题:例5.数列{an}满足an=2n+2n+1 (n∈N*) , 求数列{an}的前n项和Sn.

分析:数列{an}可以分解成两部分“2n”和“2n+1”, “2n”是等比数列, “2n+1”是等差数列, 所以可以分别用等比数列和等差数列求和公式求和.

六、并项求和法

一个数列本身并没有太明显的规律, 但是把数列的某些项重新组合后有规律 (如:相邻项组合, 奇数项与偶数项分别组合等) , 并且组合后可以求和, 此类型题用并项求和.

典型例题:例6.求和:Sn=1-3+5-7+9-11+…+ (-1) n-1 (2n-1) .

由以上六个例题, 不难发现求数列前n项和的一般步骤: (1) 求出数列的通项公式; (2) 观察数列通项公式的形式 , 决定用哪种方法; (3) 化简、整理, 求出数列{an}的前n项和.

以上给出的六种求和方法是比较常规的, 但这些方法不是万能的.通过研究不难发现:这些方法的前提是能求出数列的通项, 然后根据数列通项的特征进一步求和.但是有些题很难求出通项, 以上这些方法不再适用.这就要求考生要多掌握一些“非常规”的技巧与方法.比如以下方法.

七、逐差求和法

某些数列的构成规律不十分明显, 很难求出它的通项公式, 我们可以逐次求出它的各阶差数列, 如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列, 那么就可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式, 然后求出其前n项和Sn.

典型例题:例7.求数列5, 6, 9, 16, 31, 62…的前n项和Sn.

分析:这个数列构成规律不十分明显, 通项不容易求出, 我们不妨看看相邻两项的差, 然后再找规律, 可以求出它的一阶差数列:1, 3, 7, 15, 31…, 又可以求出它的二阶差数列:2, 4, 8, 16, 32…, 发现它的二阶差数列是一个等比数列 , 因此可以用逐差求和法先求出an再求出Sn.

八、组合数求和法

若原数列各项可写成组合数的形式, 然后再利用公式求出数列前项和Sn.

典型例题:例8.求数列1, 1+2, 1+2+3, …, 1+2+3+…+n的前n项和Sn.

分析:这个数列的每一项可以变形为以下形式:

因此原数列各项的和可写成组合数的和的形式, 就可以转化为利用公式求出数列前n项和Sn.

数列求和方法总结第4篇

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的`个数，一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公

式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;

通项=首项+(项数一1)公差;

数列和公式：sn，=(a1+an)n2;

数列和=(首项+末项)项数2;

项数公式：n=(an+a1)d+1;

项数=(末项-首项)公差+1;

公差公式：d=(an-a1))(n-1);

公差=(末项-首项)(项数-1);

浅析数列求和方法第5篇

在进行等差数列求和公式推导时, 运用的便是倒序相加法。此种方法的运用需要先将一个数列倒过来进行排列, 之后再与原数列进行相加, 以得到n组 (a1+an) , 具体计算方法如下所示:

将两组求和式子进行上下相加, 便可以得到2Sn, 利用数列特点最终求得数列之和。

例1.试利用一定的求和技巧求出

sin21o+sin22o+sin23o+…+sin288o+sin289o的值。

分析:sin21o+sin22o+sin23o+…+sin288o+sin289o这一系列数值并没有直接的联系, 要想利用最简单的方法求出这89个数值的和, 则需要我们从另一个角度进行考虑。不难发现, sin21o+cos21o+=1, 而利用sinx=cos (900-x) 公式可以很容易得到sin890=cos10, 这样便可以利用倒序相加法来快速求得这些数值的和。

解:假设S=sin21o+sin22o+sin23o+…+sin288o+sin289o将其进行反序排列还可以得到S=sin289o+sin288o+…+sin23o+sin22o+sin21o。同时, 因为sinx=cos (900-x) , sinx2+cosx2=1, 所以可以得到

2S= (sin21o+cos210) + (sin22o+cos220) +…+ (sin289o+cos2890) =89, 所以S=44.5。

二、错位相减法

错位相减法不仅是进行等比数列推导前n项和公式时常用的重要方法, 同时也是求通项公式为等差的一次函数乘以等比数列形式的和的重要方法, 即错位相减法适用于数列{an·bn}的前n项和的求解, 其中{an}、{bn}分别为等差与等比数列。一般地, 在已知的和式的两边同时乘以此数列组成中的等比数列的公比, 之后将这个构造的新和式减去原来的求和式子, 这样便可以轻松化为一个同倍数的等比数列, 利用等比数列求和公式便可以求得原数列各项的总和, 该种方法便称为错位相减法。

三、直接求和法

如果题目中给出的数列为已经学过的等差数列或者等比数列, 那么求和过程就会变得简单得多, 我们可以直接采取求和公式来解决问题。具体公式形式总结如下:

通项公式an= a1+ ( n - 1 ) d的等差数列的求和公式为

通项公式an=a1qn-1的等比数列的求和公式可以记作

数列1, 2, 3, 4, ……, n的求和公式可记作

数列1, 4, 9, ……, n 2的求和公式可记作

数列1, 8, 27, ……, n3的求和公式可记作

以上便是经常使用的几类数列的求和公式, 针对类似问题采用直接求和法将会使问题变得更为简单。

例2 . 已经知道, 那么根据这一公式试求前n项的和。

分析:根据公式可以解得, 即, 那么该求和可以利用等比数列求和公式, 通过套用公式, 使得该问题很容易得到最终解。

裂项相消求和法就是将已经得到的数列通项拆成两项之差, 然后对其分别求和, 通过令一些正负项相互抵消, 便可以获得该数列的前n项和转变为首尾若干项的和, 这利用了分解与组合思想。一般地, 通项分解形式常见的有如下几种类型:

裂项相消的变形目的是将原数列的每一项拆分为两项之后, 根据余下项前后位置前后对称或者余下项前后正负性相反的特点将中间大部分的项相互抵消, 只剩下有限几项, 从而使得求和问题获得简易求解。

五、分组转化求和法

有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 那么要想求此数列的和便需要采用一种新的方法, 即分组转化求和法。其是将数列的每一项分成两项或者将数列的各项进行重新组合, 使其向等差数列或者等比数列转化的有效方法。

六、结语

总而言之, 在解决数列求和问题上, 需要将重点放在数列通项公式的表达形式上, 根据通项公式形式特点, 采取适宜方法是解决此类题型的关键。一般地, 如果是等差、等比数列, 那么其求和便可以直接利用公式求解。而对于不是等差或者等比数列的一般数列而言, 其求和主要有两种思路:第一, 利用错位相消或者分组求和使一般数列转化为等差或者等比数列。第二, 借助裂项相消等方法将不能向等差或者等比的数列进行特殊求和。只有记住每一种类型的求和方法, 在题目中多加积累, 才能为之后数列知识体系的完善奠定坚实基础。

参考文献

[1]阴夏玲.对某些特殊数列求和方法的探讨[J].山西师范大学学报 (自然科学版) , 2013, S2:20-25.

[2]李士芳.数列求和的几种常用方法[J].北京工业职业技术学院学报, 2009, 02:68-70.