方程应用题范文第1篇
2、四(2)班学生共52人，到公园去划船共租用11条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，刚好坐满。求租用的大船、小船各有多少只?
3、10元盒5元一张的人民币共有40张，共计325元，两种人民币各有几张?
4、现有大、小塑料桶共50个，每个大桶可装果汁4千克，每个小桶可装果汁2千克，大桶和小桶共装果汁120千克。问：大、小塑料桶各有多少个?
5、某运动员进行射击考核，共打20发子弹，规定每中一发记20分，脱靶一发
扣12分，最后这名运动员共得240分。问：这名运动员共打中了几发?
6、育才小学五年级举行数学竞赛，共10题。每做对一题得8分，错一题倒扣5
分。张小灵最终得分为41分。她做对了多少题?
7、鸡与兔共有100只。鸡的脚比兔的脚多80只。问鸡与兔各有多少只?
8、学校买来3元、4元盒5元的电影票共400张，用去1560元，其中4元和5元的张数一样多。每种票各买了多少张?
9、某场篮球比赛售出30元、50元、60元的门票共200张，收入9000元，其中50元和60元的门票售出的张数相等。每种票各售出多少张?
10、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆，已知每辆大卡车比每辆小卡车多装载4吨，那么这批钢材共有多少吨?
11、仓库所存的苹果是香蕉的3倍。春节前夕，平均每天批发出250千克香蕉，600千克苹果，几天后香蕉全部批发完，苹果还剩900千克。这个仓库原有苹果、香蕉各多少千克?
12、水果仓库所存的苹果是香蕉的4倍。元旦前夕，平均每天批发出250千克香蕉，700千克苹果，几天后香蕉全部批发完，苹果还剩1500千克。这个仓库原有苹果、香蕉各多少千克?
13、周老师从家到学校上班，出发时他看表，发现如果步行，每分钟行80米，他将迟到6分钟;如果每分钟行200米，他可以提前6分钟到校。周老师家离学校多少米?
14、王叔叔从家出发去会所参加会议，如果每分钟走50米，就要迟到8分钟;如果每分钟走60米，又会早到5分钟?王叔叔家到会所的距离是多少?
15、一个小组同学去植树。如果每人栽5棵，还剩14棵;如果每人栽7棵，就缺少4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树?
16、夏令营营员们到一招待所住宿。若每件宿舍住6人，那么就多14人;如果每间宿舍住7人;那么就多出一间宿舍。有多少个营员?
17、一个班同学去公园划船。他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好可坐6人;如果减少一条船，每条船要坐9人。这个班有学生多少人?
方程应用题范文第2篇
杨春晖
《列方程解稍复杂应用题》人教课标版五年数学上册第四单元内容。是学生在学习了用字母表示数，会解稍复杂方程，并学习了列方程解简单应用题的步骤的基础下，学习今天的新课。本课例让学生通过分析关键句，列出等量关系式，根据关系式构建方程模式，能正确列方程解决问题，同时能感受到列方程解决问题的优越性。
我认为在本节课的教学中体现了这以下三个特点：
一、 分析好关键句，等于成功了一半。
做好应用题的一个突破口就是分析好关键句，本节课的引入以及巩固练习的环节都加强根据关键句列好等量关系式的教学设计。“求一个数比另一个数的几倍多(少)多少”这样的应用题，找准题目中相关联的两个量，根据这两个量的关系列出等量关系式，通常都会把一份的这个量作为标准量，用字母表示。另一个和它相关联的量用字母式表示它们之间的关系。如本节其中一题“长比宽的2倍少6.4米”，这句关键句，我们习惯把一倍量宽用字母a表示，根据他们的关系可以用2a—6.4含有字母的式子表示长。
二、 用等式原理构建方程模式
“求一个数比另一个数的几倍多(少)多少?(一倍量不知道)”，这样的应用题，打破以前习惯用找好三个量，然后用大数—小数=相差数，或大数—相差数=小数，或小数+相差数=大数，这样的关系式，从而列方出方程进行教学。本节课着重让学生用字母表示一倍量，另一个量用含有字母的式子表示它们的关系。如本课的例题“白色皮有20块，比黑色皮的2倍少4块，求黑色皮有多少块?可以设一倍量黑色皮有X块，根据它们的关系可以用2X—4表示白色皮的数量，列出方程2X—4=20，等号左边是白色数量的式子，右边20是表示白色皮的数量，都可以表示白色皮，根据等式原理，可以用等号连起来，从而列出方程。
三、 灵活运用方程和算术解决问题
方程应用题范文第3篇
众所周知, 当前高等教育的实际及特点是:力图让学生“掌握基本概念, 理论, 方法和使用技能, 强化实际应用”。因此, 在线性代数教学中应加强理论与实际应用的联系, 增强学生对所学概念的实际应用的了解, 提高他们的知识应用能力。
1 应用实例举例
1.1 商品利润率问题
某商场甲, 乙, 丙, 丁, 四种商品四个月的总利润 (万元) 如表1所示, 试求出每种商品的利润率。
要求出每种商品的利润率, 不防假设甲, 乙, 丙, 丁, 四种商品的利润率分别为1x, 2x, 3x, 4x, 则很容易建立如下关于1x, 2x, 3x, 4x的一个线性方程组:
可解得x1=1 5%, x2=1 2%, x3=9%, x4=7%, 即甲, 乙, 丙, 丁, 四种商品的利润率分别为15%, 12%, 9%, 7%。
1.2 插值多项式问题
插值法是函数逼近的一种重要方法, 是数值计算的基本课题, 在实际工程计算中应用广泛。下面举一个简单的插值多项式问题。
平面上三个点为 (1, 2) 、 (2, 3) 和 (3, 6) , 求过这三点的二次多项式函数。
要求出过这三点的二次多项式函数先假设此二次多项式为:
则由已知条件易得此二次多项式满足如下线性方程组:
解得a=, 3b=-, 2c=1, 则待求二次插值多项式为:f (x) =3-2x+x2。
1.3 交通问题
某城市有两组单行道, 构成了一个包含四个节点ABCD的十字路口, 如图1, 汽车进出十字路口的流量 (每小时的车流数) 标在图上, 试求每两个节点之间路段上的交通流量。 (如图1)
解决此问题可假设:每两个节点之间路段上的交通流量为D→A:x1, A→B:x2B→C:x3, C→D:x4, 且假设针对每个节点, 进入和离开的车数相等, 则由已知条件可建立四个节点的流通线性方程组:
整理得等价线性方程组:
上线性方程组有无穷多个解:
(当x4取为自由未知量) 。方程组有无穷多解表明:如果有一些车围绕十字路D→A→B→C绕行, 流量1x, 2x, 3x x4都会增加, 但并不影响出入十字路口的流量, 仍然满足方程组。
2 结语
本文列举了经济生活中的商品利润率, 工程计算中的插值多项式和交通中的流量分析的问题, 这三个实例足以让学生了解到学习线性方程组的意义所在, 从而引起学生对线性代数的学习兴趣, 培养学生的数学素养, 达到事半功倍之效。
摘要：本文主要列举了线性方程组若干应用实例。在线性方程组教学中列举应用实例的好处是使学生易于理解, 掌握和牢记其基本概念及理论, 以收事半功倍之效。
关键词：线性方程组,应用实例
参考文献
[1] 同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[2] 李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化, 2004 (1) :30～33.
[3] 何良材, 李新.线性代数[M].重庆:重庆大学出版社, 2007.
方程应用题范文第4篇
1函数与方程思想在函数问题中的应用
例1,已知实数 若f(f(0))=3ɑ,则实数ɑ=_____ 。
解: ∵ f(f(0))=f(3)=9+3/2ɑ
∴ 9+3/2ɑ=3ɑ
∴ɑ=6
评注:本例考查了分段函数与复杂方程的有关内容,体现了函数与方程的转化,突出了函数与方程思想的应用。
2函数与方程思想在方程问题中的应用
例2,如果方程2cos2x-sinx+2ɑ=0在 (0,π/2]上有解 ,求ɑ的取值范围。
解:把方程变形为2ɑ=-2cos2x+sinx
设f(x)=-2cos2x +sinx,x∈(0,π/2] 显然当且仅当2ɑ属于f(x)的值域时,2ɑ=f(x)有解。
且由x∈(0,π/2]知sinx∈(0,1]易求得f(x)的值域为(-2,1]
故ɑ的取值范围是(-1,1/2]
评注:研究含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题时,往往分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域。
3函数与方程思想在解析几何中的应用
例3,已知椭圆 若点O和点F为曲线的中心和右焦点,点P为椭圆上任意一点,则 的最大值为_____。
解:由题意,得F(1,0),设点P(x0,y0),则有
又因为
所以当 时, 取得最大值:
评注:解析几何是高考的重点内容之一,本题以椭圆和向量为背景考查了函数与方程的思想, 先选择恰当的变量建立目标函数再用函数的知识来解决,突出了对重要知识,重要的数学思想方法的考查。
4函数与方程思想在数列、不等式中的应用
例4,已知 数列{ɑn}的前n项和 恒成立,求ɑ的取值范围。
解:由错位相减法知,
设t=1/ɑ,则t2+t-2≤0解得-2
所以-2<1/ɑ<1即ɑ>1或ɑ<-1/2
评注:本例采用函数的思想,用研究函数的单调性的方法研究数列的单调性,求出的最小值,结合不等式恒成立,进一步用函数与方程思想使问题解决。
摘要：函数与方程思想是中学数学的基本思想,主要根据题意,构造恰当的函数,或建立相应的方程来解决问题,是历年高考的重点和热点,纵观历年高考试卷,每年每套高考试题都有出现。
方程应用题范文第5篇
1应用理想气体状态方程式可直接计算出气体摩尔体积
理想气体状态方程式:
P、V表示气体的压强和体积;
n表示气体的物质的量;
R气体常数, 在国际单位制中
T为热力学温度, T=273+t;
t表示摄氏温度, 这个公式描述了理想气体所遵循的规律, 在温度不太高, 压强不太大的情况下, 所有气体都遵守这个方程, 所以这个方程可以解决许多有关气体计算问题。
在不同状况下, 气体摩尔体积通常有不同的数值, 任何状态下的气体摩尔体积, 都可以通过这个方程式计算出来。例如:
在标准状况下 (273K、101325Pa) 下气体摩尔体积:
即在标准状况下, 1mol任何气体所占的体积都约是22.4L, 在此学生虽然对单位的变换有困难, 但只要采用国际单位制, 计算出来的体积就一定是m3。
2应用理想气体状态方程式理解阿伏伽德罗定律
由理想气体状态方程式可以看出, 只要、V、n、T四个物理量中任意三个量保P持不变, 则第四个物理量必有定值。由此可知:对于任何气体来说, 只要、P、V相同, 则n值必相同, n相同则N值 (即分子数) 也相同, 即在相同的温度和压强下相同体积的任何气体都含有相同数目的分子, 这就是阿伏伽德罗定律。
3利用理想气体状态方程式可推导阿伏伽德罗定律的推论
推论1:同温同压下:
即:同温同压下气体的体积之比等于气体物质的量之比。
推导方法:PV1=n 1RTPV2=n 2RT
以上两式等号两边分别相比即可得出:
推论2:同温同体积时:
即:同温同体积时气体的压强之比等于气体的物质的量之比。
推导方法同推论1。
推论3:同温同压下:
M1、M2为气体相对分子质量 (或摩尔质量) , 1ρ、ρ2为表示气体密度。
即:同温同压下, 气体密度之比等于气体的相对分子质量之比。
推导方法:因为:
m为气体质量;
M为气体摩尔质量。
由公式:
整理得:
则:
两式相比得:
推论4:同温同压同体积时:
即:同温同压下、同体积的任何气体质量之比等于其相对分子质量之比。
推导方法:T、P、V相同时、由理想气体状态方程式不难看出气体的n相同, 则:
所以:
推论5:同温同压下同质量的气体:
即:同温同压下, 同质量的任何气体的体积比等于其相对分子质量的倒数比。
推导方法:
两式相比得:
由以上推导方法可知:只要理想气体状态方程式中任意两个或三个物理量保持不变, 就可以导出不同的比例式, 即阿伏伽德罗定律的若干推论。
把理想气体状态方程式应用于解决气体的有关计算等问题。使学生能从物理公式角度理解气体摩尔体积、阿伏伽德罗定律及其推论, 这就会使抽象的问题具体化, 使复杂的问题简单化, 特别是对于参加化学竞赛的学生和将要参加高考的学生, 可直接应用这个公式做许多难题, 简化了计算的思维过程。这个公式简明扼要、中学化学新课程中虽然没有出现这个公式, 但是我们把这个公式特意介绍给学生, 不但不会加重学生的负担, 反而会提高学生对气体摩尔体积、阿伏伽德罗定律及其推论的理解, 在减轻学生负担的同时提高了记忆的准确性。在实施新课改的今天, 我们让学生从不同的角度认识和解决同一类问题, 有利于培养学生分析问题和解决问题的能力, 提高学习效果。
摘要：运用理想气体状态方程式计算气体摩尔体积, 理解阿伏伽德罗定律, 推导阿伏伽德罗定律及其推论。
方程应用题范文第6篇
1倒推法
倒推法是反求常系数线性齐次微分方程的一种方法, 即由给定的特解确定特征根, 再由特征根倒推其特征方程, 最后由特征方程再倒推出这些特解所满足的常系数线性齐次微分方程。
例1: 设某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=ex (c1sinx+c2cosx) (c1c2为任意常数) , 求此微分方程。
解:由微分方程的通解y=ex (c1sinx +c2cosx) 可知, y1=exsinx, y2=excosx是一对线性无关的特解。 对应的特征根为一对共轭复根 α+βi=1±i, 以1+i, 1-i为特征根的特征方程为:[r- (1+i) ][r- (1-i) ]=r2-2r+2=0, 因此, 所求的二阶线性齐次微分方程为:y″-2y′+2y=0。
例2:试建立二阶常系数线性齐次微分方程, 已知其特征方程的一个根是r1=3+2i, 并求此微分方程的通解。
解:由题意知, 特征方程的另一个根是r1=3-2i。 因此, 由韦达定理可得:
故特征方程为:r2-6r+13=0
因此, 相应的微分方程为:y″-6y′+13y=0
该方程的通解为y=e3x (c1cos2x+c2sin2x) 。
2特解代入法
为求出方程y″+p (x) y′+q (x) y=f (x) 的两个变系数p (x) , q (x) , 将两线性无关的特解y1, y2及其导数代入该方程, 比较系数建立联立方程组, 求出p (x) , q (x) , 从而得出所求微分方程。
例3:已知y1=x和y2=sinx是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的解, 试写出这个微分方程。
解:设所求方程为y″+p (x) y′+q (x) y=0, 将y1=x, y2=sinx代入方程, 得:
求解得:;
因此所求微分方程为:
例4:设二阶常系数线性非齐次微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y*=e2x+ (1+x) ex, 试确定常数 α, β, γ, 并求出该方程及其通解。
解:将y*=e2x+ (1+x) ex代入原方程, 得:
比较同类项的系数, 有
解之得:α=-3, β=2, γ=-1。
因而, 所求微分方程为:y″-3y′+2y=-ex
其对应的齐次线性微分方程的特征方程为r2-3r+2=0, 特征根为r1=1, r2=2, 故其通解为Y=C1ex+C2e2x, 因此所求微分方程的通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x+xex。
3任意常数消去法
先证方程的解线性无关, 然后写出其通解。 对通解进行二次求导, 构造两个方程, 求出c1, c2, 用y, y′, y″表示的式子, 代入原方程的通解, 即得所求微分方程。
例5: 已知函数y1=cosx, y2=e-x是一个二阶线性齐次方程的两个特解, 求其通解及该微分方程。
解:因为不为常数, 故它们线性无关。
因此该方程的通解为y=C1cosx+C2e-x
对上述方程二次求导, 得:
求解, 得:, 代入通解, 得:
整理后, 所求微分方程为:
例6:求一个微分方程, 使其通解为: (x-c1) 2+ (y-c2) 2=1。
解:将 (x-c1) 2+ (y-c2) 2=1两边对x求导, 得:
在求导, 得:2+2 (y′) 2+2 (y-c2) y″=0 (2)
由 (2) 式, 得: (3)
将 (3) 式代入 (1) 式, 得: (4)
将 (3) 式与 (4) 式代入原方程, 整理化简得所求微分方程为: (y″) 2=[ (y′) 2+1]3
4综合法
综合法是求线性非齐次微分方程的一种常用方法, 就是先求对应的齐次方程, 再求非齐次项。 即先用倒推法等方法求出对应的常系数线性齐次方程, 然后用代入法等方法求出其非齐次项。 从而得到线性非齐次微分方程。
例7:已知y1=xex+e2x, y2=xex+e-x, y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解, 求此微分方程。
解:由解的性质, 知:y1-y3=e-x, y1-y2+e-x=e2x是相应齐次方程的特解, 且线性无关。 这两个特解e-x和e2x所对应的特征方程的根分别是r1=-1 和r2=2, 因此特征方程为:
(r+1) (r-2) =0, 即r2-r-2=0。
因此, 齐次方程为:y″-y′-2y=0。
设所求非齐次微分方程为y″-y′-2y=f (x) ,
由解的性质, y1-e2x=xex是非齐次方程的一个特解, 将它代入上式, 得:f (x) = (xex) ″- (xex) ′-2xex=ex-2xex。
故所求方程为y″-y′-2y=ex-2xex。
例8:已知y1=x, y2=x+e2x, y3=x (1+e2x) 是二阶常系数线性非齐次微分方程的特解, 求此微分方程的通解及该方程。
解: 因y2-y1=e2x, y3-y1=xe2x, 是对应的齐次方程的特解; 又, 故齐次方程的通解为:
所以非齐次方程的通解为y=Y+x= (C1+C2x) e2x+x。
由Y= (C1+C2x) e2x可知, 2为其特征方程的重根, 即r1=r2=2, 因此特征方程为 (r-2) 2=r2-4r+4=0。所以, 对应的齐次方程为:y″-4y′+4y=0。
又设所求非齐次方程为y″-4y′+4y=f (x) , 将特解y1=x代入, 得:f (x) =4 (x-1) , 故所求非齐次方程为:
摘要：本文主要通过一些典型例题, 对利用二阶线性微分方程的解求其方程的方法进行了探讨。包括:倒推法、特解代入法、任意常数消去法、综合法。
关键词：线性微分方程,通解,特解
参考文献
[1] 林建华, 庄平辉, 林应标.高等数学精品课堂[M].厦门大学出版社, 2006.12.
[2] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M.东北大学出版社, 2000.3.